Maths complémentaires, le coin de la physique

Le secret inavoué des professeurs de physique

Capacité 1

Soit la fonction définie pour tout réel par .

est deux fois dérivable sur . On note sa fonction dérivée première et sa fonction dérivée seconde.

Pour tout réel :

• donc
• en notation différentielle :

Capacité 2

La loi horaire, en unités du Système International, du mouvement d'un point mobile qui se déplace suivant un axe est, pour un instant en secondes :

• La vitesse de ce point mobile est :
• L'accélération de ce point mobile est :

Capacité 3

Résoudre les équations suivantes d'inconnue un réel.

Capacité 3

Résoudre les équations suivantes d'inconnue un réel.

• n'a pas de solution car une exponentielle ne s'annule jamais.
• n'a pas de solution car une exponentielle est toujours strictement positive.

Capacité 3

Résoudre les équations suivantes d'inconnue un réel strictement positif.

Capacité 4

Soit la fonction définie sur par .

est dérivable sur et on note sa fonction dérivée.

Pour tout réel , on a, en appliquant la formule de dérivation d'un produit :

Capacité 4

Pour tout réel , .

• On résout l'équation :
  

• On résout l'inéquation :
  

Capacité 4

On en déduit que :

• Si , on a , donc strictement décroissante sur
• Si , on a , donc strictement croissante sur

Capacité 5

On part de la décomposition de la formule de Newton :

On applique les règles opératoires du .

et et donc l'égalité s'écrit :

Capacité 5

On applique encore les règles opératoires du .

et et donc l'égalité s'écrit :

Capacité 5

On applique une dernière règle opératoire du .

donc l'égalité s'écrit :

Capacité 5

On peut appliquer l'exponentielle des des deux côtés pour simplifier les et on obtient la troisième loi de Kepler sous sa forme habituelle :

Capacité 6

Le carbone 14 est un isotope radioactif du carbone employé en archéologie pour dater la matière organique retrouvée lors de fouilles.

La formule suivante donne l'âge , en années, d'un échantillon extrait lors de fouilles archéologiques, en fonction du pourcentage % de carbone 14 qu'il contient :

Capacité 6 (question 1)

varie dans l'intervalle .

Capacité 6 (question 2 méthode 1)

est dérivable sur l'intervalle comme composée de fonctions dérivables.

avec donc pour tout , on a :

Capacité 6 (question 2 méthode 2)

Avant de dériver on change de forme.

Pour tout , on a , donc :

Capacité 6 (question 2 méthode 2)

Pour tout , on donc .

La fonction est donc strictement décroissante sur .

Capacité 6 (question 3)

Si alors :

Capacité 6 (question 4)

La datation au carbone 14 a permis d'estimer l'âge d'une momie à ans.

Capacité 7 (question 1)

À un instant , pour moles, on a :

donc en appliquant le et ses règles opératoires :

Capacité 7 (question 2)

On dérive par rapport au temps , les deux membres de l'égalité en appliquant la formule .

Capacité 8 (question 1)

Soit la fonction définie sur par .

Capacité 8 (question 2)

En chimie, le caractère acido-basique d'une solution se mesure avec un indicateur noté pH :

est la concentration des ions hydronium exprimée en .

Capacité 8 (question 2)

Pour un acide on a : c'est-à-dire :

• donc
  

Capacité 8 (question 2)

Pour une base on a : c'est-à-dire :

• donc

Capacité 8 (question 2)

• Pour le sang, on a : .

• Le pH du sang est donc de .

• Le pH du sang est compris entre 7 et 14 et proche de 7 donc le sang est légèrement basique.

Exercice supplémentaire logarithme 1

Soit la fonction définie par .

1. Déterminer l'ensemble de définition de la fonction , on le notera .
2. Démontrer que pour tout réel , on a :

3. Étudier les variations de la fonction sur .

Exercice supplémentaire logarithme 2

Soit la fonction définie par .

1. Déterminer l'ensemble de définition de la fonction , on le notera .
2. Démontrer que pour tout réel , on a :

3. Étudier les variations de la fonction sur .

Capacité 9 (question 1)

On considère l'équation différentielle définie pour une fonction dérivable sur par :

Soit la fonction définie sur par .

Pour tout réel , on a et donc .

La fonction est donc solution de l'équation différentielle .

Capacité 9 (question 1)

On considère l'équation différentielle définie pour une fonction dérivable sur par :

Soit la fonction définie sur par .

Pour tout réel , on a et donc .

La fonction est donc solution de l'équation différentielle .

Capacité 9 (question 1)

On considère l'équation différentielle définie pour une fonction dérivable sur par :

Soit la fonction définie sur par .

Rappel .

Pour tout réel , on a et donc .

La fonction est donc solution de l'équation différentielle .

Capacité 9 (question 2)

On considère l'équation différentielle définie pour une fonction dérivable sur par :

Soit une constante réelle et la fonction définie sur par .

Pour tout réel , on a et donc .

La fonction est donc solution de l'équation différentielle .

Capacité 9 (question 2)

On considère l'équation différentielle définie pour une fonction dérivable sur par :