Maths complémentaires, le coin de la physique

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Le secret inavoué des professeurs de physique

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Capacité 1

Soit la fonction définie pour tout réel par .

est deux fois dérivable sur . On note sa fonction dérivée première et sa fonction dérivée seconde.

Pour tout réel :

  • donc
  • en notation différentielle :

Capacité 2

La loi horaire, en unités du Système International, du mouvement d'un point mobile qui se déplace suivant un axe est, pour un instant en secondes :

è

  • La vitesse de ce point mobile est :
  • L'accélération de ce point mobile est :

Capacité 3

Résoudre les équations suivantes d'inconnue un réel.

Capacité 3

Résoudre les équations suivantes d'inconnue un réel.

  • n'a pas de solution car une exponentielle ne s'annule jamais.
  • n'a pas de solution car une exponentielle est toujours strictement positive.

Capacité 3

Résoudre les équations suivantes d'inconnue un réel strictement positif.

Capacité 4

Soit la fonction définie sur par .

est dérivable sur et on note sa fonction dérivée.

Pour tout réel , on a, en appliquant la formule de dérivation d'un produit :

Capacité 4

Pour tout réel , .

  • On résout l'équation :

  • On résout l'inéquation :

Capacité 4

On en déduit que :

  • Si , on a , donc strictement décroissante sur
  • Si , on a , donc strictement croissante sur

Capacité 5

On part de la décomposition de la formule de Newton :

On applique les règles opératoires du .

et et donc l'égalité s'écrit :

Capacité 5

On applique encore les règles opératoires du .

et et donc l'égalité s'écrit :

Capacité 5

On applique une dernière règle opératoire du .

donc l'égalité s'écrit :

Capacité 5

On peut appliquer l'exponentielle des des deux côtés pour simplifier les et on obtient la troisième loi de Kepler sous sa forme habituelle :

Capacité 6

Le carbone 14 est un isotope radioactif du carbone employé en archéologie pour dater la matière organique retrouvée lors de fouilles.

La formule suivante donne l'âge , en années, d'un échantillon extrait lors de fouilles archéologiques, en fonction du pourcentage % de carbone 14 qu'il contient :

Capacité 6 (question 1)

varie dans l'intervalle .

Capacité 6 (question 2 méthode 1)

est dérivable sur l'intervalle comme composée de fonctions dérivables.

avec donc pour tout , on a :

Capacité 6 (question 2 méthode 2)

Avant de dériver on change de forme.

Pour tout , on a , donc :

Capacité 6 (question 2 méthode 2)

Pour tout , on donc .

La fonction est donc strictement décroissante sur .

Capacité 6 (question 3)

Si alors :

Capacité 6 (question 4)

La datation au carbone 14 a permis d'estimer l'âge d'une momie à ans.

Capacité 7 (question 1)

À un instant , pour moles, on a :

ù

donc en appliquant le et ses règles opératoires :

Capacité 7 (question 2)

On dérive par rapport au temps , les deux membres de l'égalité en appliquant la formule .

Capacité 8 (question 1)

Soit la fonction définie sur par .

Capacité 8 (question 2)

En chimie, le caractère acido-basique d'une solution se mesure avec un indicateur noté pH :

est la concentration des ions hydronium exprimée en .

Capacité 8 (question 2)

Pour un acide on a : c'est-à-dire :

  • donc

Capacité 8 (question 2)

Pour une base on a : c'est-à-dire :

  • donc

Capacité 8 (question 2)

  • Pour le sang, on a : .

  • Le pH du sang est donc de .

  • Le pH du sang est compris entre 7 et 14 et proche de 7 donc le sang est légèrement basique.

Exercice supplémentaire logarithme 1

Soit la fonction définie par .

  1. Déterminer l'ensemble de définition de la fonction , on le notera .
  2. Démontrer que pour tout réel , on a :

  1. Étudier les variations de la fonction sur .

Exercice supplémentaire logarithme 2

Soit la fonction définie par .

  1. Déterminer l'ensemble de définition de la fonction , on le notera .
  2. Démontrer que pour tout réel , on a :

  1. Étudier les variations de la fonction sur .

Capacité 9 (question 1)

On considère l'équation différentielle définie pour une fonction dérivable sur par :

Soit la fonction définie sur par .

Pour tout réel , on a et donc .

La fonction est donc solution de l'équation différentielle .

Capacité 9 (question 1)

On considère l'équation différentielle définie pour une fonction dérivable sur par :

Soit la fonction définie sur par .

Pour tout réel , on a et donc .

La fonction est donc solution de l'équation différentielle .

Capacité 9 (question 1)

On considère l'équation différentielle définie pour une fonction dérivable sur par :

Soit la fonction définie sur par .

Rappel .

Pour tout réel , on a et donc .

La fonction est donc solution de l'équation différentielle .

Capacité 9 (question 2)

On considère l'équation différentielle définie pour une fonction dérivable sur par :

Soit une constante réelle et la fonction définie sur par .

Pour tout réel , on a et donc .

La fonction est donc solution de l'équation différentielle .

Capacité 9 (question 2)

On considère l'équation différentielle définie pour une fonction dérivable sur par :

On a démontré que la fonction définie sur par est solution de l'équation .

La fonction vérifiant la condition initiale est telle que :

Capacité 10 (1/ 2)

Un échantillon contient initialement noyaux radioactifs dont la constante radioactive est .

Le nombre de noyaux radioactifs encore présents à l'instant est noté et vérifie l'équation différentielle :

D'après une propriété du cours, la solution générale de l'équation différentielle est .

Capacité 10 (2/ 2)

D'après une propriété du cours, la solution générale de l'équation différentielle est .

On calcule pour que la condition initiale soit vérifiée.

On en déduit que pour tout , on a :

Capacité 11 (1/2)

D'après une propriété du cours une solution de l'équation différentielle est une fonction définie sur par .

On applique cette propriété pour l'équation (E) avec et : une solution de l'équation différentielle (E) est une fonction définie sur par :

Capacité 11 (2/2)

Une solution de l'équation différentielle (E) est une fonction définie sur par

De plus la solution recherchée doit vérifier la condition initiale . On peut déterminer en résolvant une équation :

La solution de l'équation différentielle (E) vérifiant la condition initiale est donc la fonction définie sur par .

Capacité 12 (Question 1)

Soit un temps en secondes, la température de la boisson vérifie :

  • degrés est la température extérieure et est la surface de la gourde. est le coefficient d'échange convectif dans l'air égal à Watts par mètre carré et par degré Celsius, et est la capacité thermique massique du système étudié égale ici à Joules par kilogramme par degré Celsius.
  • g est la masse de la gourde et g celle de la boisson chaude

Capacité 12 (Question 1)

En remplaçant par les valeurs numériques des paramètres, la température de la boisson est solution de l'équation différentielle :

c'est-à-dire

Capacité 12 (Question 1)

En posant et , d'après une propriété du cours une solution de l'équation est de la forme :

é

Capacité 12 (Question 2)

On calcule la constante à partir de la condition initiale :

On en déduit que la température de l'eau dans la gourde est telle qu'au temps :

et