Corrigé de l'exo supp logarithme 1 question 1

Soit la fonction définie par .

définie si et seulement si .

D'après la règle du signe d'un trinôme est positif donc du signe de à l'intérieur des racines et donc dans l'intervalle .

On en déduit que définie si et seulement si .

Corrigé de l'exo supp logarithme 1 question 2

Là il y a une subtilité, on voudrait bien écrire pour tout réel :

sauf que ce n'est pas possible car et ne sont pas définis si ...

Corrigé de l'exo supp logarithme 1 question 2

En fait il suffit de changer les signes des deux facteurs (ce qui ne change rien au produit car ). En effet et sont bien définis sur . Ainsi pour tout réel , on peut décomposer :

.

Corrigé de l'exo supp logarithme 1 question 2

Pour tout réel , on peut décomposer :

Corrigé de l'exo supp logarithme 1 question 2

Ensuite on dérive avec la formule :

Et comme , on retrouve :

En DS je me débrouillerai pour avoir la bonne expression dès le début

Corrigé de l'exo supp logarithme 1 question 3

Pour tout réel , on a :

De plus si , donc le signe de est celui de .

• si donc et strictement décroissante sur
• si donc et strictement décroissante sur

Exercice supplémentaire logarithme 2

Soit la fonction définie par .

1. Déterminer l'ensemble de définition de la fonction , on le notera .
2. Démontrer que pour tout réel , on a :

Je suis passé à côté de la même subtilité dans cette question donc je reviens dessus

3. Étudier les variations de la fonction sur .

Corrigé de l'exo supp logarithme 2 question 1

Soit la fonction définie par .

définie si et seulement si .

Or donc le signe de est celui de /

D'après la règle du signe d'un trinôme est positif donc du signe de à l'intérieur des racines et donc dans l'intervalle .

On en déduit que définie si et seulement si .

Corrigé de l'exo supp logarithme 2 question 2

Là il y a une subtilité, on voudrait bien écrire pour tout réel :

sauf que ce n'est pas possible car et ne sont pas définis si ...

Corrigé de l'exo supp logarithme 2 question 2

En fait il suffit de changer les signes des deux facteurs (ce qui ne change rien au produit car ). En effet et sont bien définis sur . Ainsi pour tout réel , on peut décomposer :

.

Corrigé de l'exo supp logarithme 2 question 2

Pour tout réel , on peut décomposer :

.

Corrigé de l'exo supp logarithme 2 question 2

Ensuite on dérive avec la formule :

Et comme , on retrouve :

En DS je me débrouillerai pour avoir la bonne expression dès le début

Corrigé de l'exo supp logarithme 2 question 3

Pour tout réel , on a :

De plus si , donc le signe de est celui de qui est positif donc est strictement croissante sur .