Exponentielle, rituel du 04/09/2024

Exercice 1

Soit xx un réel non nul, démontrer les égalités suivantes :

  • (ex)2e2x−1=11−e−2x\frac{(\text{e}^{x})^{2}}{\text{e}^{2x}-1}=\frac{1}{1-\text{e}^{-2x}}
  • (ex2+e−x2)2=(ex+1)(e−x+1)\left(\text{e}^{\frac{x}{2}} +\text{e}^{-\frac{x}{2}}\right)^{2}= (\text{e}^{x} + 1)(\text{e}^{-x} + 1)

Exercice 2 (partie 1)

Soit hh la fonction d'expression

h(x)=ex−1ex+1h(x)=\frac{\text{e}^{x}-1}{\text{e}^{x}+1}

(Q1) Justifier que hh est définie et dérivable sur R\mathbb{R}.
(Q2) Soit x∈Rx \in \mathbb{R}, exprimer h′(x)h'(x)
(Q3) La courbe de hh a-t-elle une tangente parallèle à la droite d'équation y=xy=x