Limites de suites, quelques corrigés

In [159]:
from sympy import *
In [160]:
init_session()
IPython console for SymPy 1.0 (Python 3.5.2-32-bit) (ground types: python)

These commands were executed:
>>> from __future__ import division
>>> from sympy import *
>>> x, y, z, t = symbols('x y z t')
>>> k, m, n = symbols('k m n', integer=True)
>>> f, g, h = symbols('f g h', cls=Function)
>>> init_printing()

Documentation can be found at http://docs.sympy.org/1.0/
In [161]:
def limitesuite(exp):
    print("Exepression développée : ")
    pprint(expand(exp))
    print("Expression factorisée : ")
    pprint(factor(exp))   
    print("Calcul de limite :")
    L = Limit(exp,n,oo)
    pprint(L)
    print('=',L.doit())

Exercices du manuel

Exo 17 p. 49

In [162]:
limitesuite(n**3 + 2*n - 7)
Exepression développée : 
 3          
n  + 2⋅n - 7
Expression factorisée : 
 3          
n  + 2⋅n - 7
Calcul de limite :
    ⎛ 3          ⎞
lim ⎝n  + 2⋅n - 7⎠
n─→∞              
= oo
In [163]:
limitesuite(-3*n + 1 + 2/n)
Exepression développée : 
           2
-3⋅n + 1 + ─
           n
Expression factorisée : 
-(n - 1)⋅(3⋅n + 2) 
───────────────────
         n         
Calcul de limite :
    ⎛           2⎞
lim ⎜-3⋅n + 1 + ─⎟
n─→∞⎝           n⎠
= -oo
In [164]:
limitesuite(Rational(1000,3) - 3/n) 
Exepression développée : 
1000   3
──── - ─
 3     n
Expression factorisée : 
1000⋅n - 9
──────────
   3⋅n    
Calcul de limite :
    ⎛1000   3⎞
lim ⎜──── - ─⎟
n─→∞⎝ 3     n⎠
= 1000/3
In [165]:
limitesuite(-3*n**2 + 5/n)
Exepression développée : 
     2   5
- 3⋅n  + ─
         n
Expression factorisée : 
 ⎛   3    ⎞ 
-⎝3⋅n  - 5⎠ 
────────────
     n      
Calcul de limite :
    ⎛     2   5⎞
lim ⎜- 3⋅n  + ─⎟
n─→∞⎝         n⎠
= -oo
In [166]:
 limitesuite(300 - n**2*sqrt(2))
Exepression développée : 
      2      
- √2⋅n  + 300
Expression factorisée : 
      2      
- √2⋅n  + 300
Calcul de limite :
    ⎛      2      ⎞
lim ⎝- √2⋅n  + 300⎠
n─→∞               
= -oo
In [167]:
limitesuite(5*sqrt(n) - 100/n + 20)
Exepression développée : 
            100
5⋅√n + 20 - ───
             n 
Expression factorisée : 
  ⎛ 3/2           ⎞
5⋅⎝n    + 4⋅n - 20⎠
───────────────────
         n         
Calcul de limite :
    ⎛            100⎞
lim ⎜5⋅√n + 20 - ───⎟
n─→∞⎝             n ⎠
= oo
In [168]:
limitesuite(1 - n/100 - 3*sqrt(n))
Exepression développée : 
         n     
-3⋅√n - ─── + 1
        100    
Expression factorisée : 
-(300⋅√n + n - 100) 
────────────────────
        100         
Calcul de limite :
    ⎛         n     ⎞
lim ⎜-3⋅√n - ─── + 1⎟
n─→∞⎝        100    ⎠
= -oo
In [169]:
limitesuite((5- n**3)/2 + 7/n - 3)
Exepression développée : 
   3        
  n    1   7
- ── - ─ + ─
  2    2   n
Expression factorisée : 
         ⎛ 3      2          ⎞ 
-(n + 2)⋅⎝n  - 2⋅n  + 4⋅n - 7⎠ 
───────────────────────────────
              2⋅n              
Calcul de limite :
    ⎛   3        ⎞
    ⎜  n    1   7⎟
lim ⎜- ── - ─ + ─⎟
n─→∞⎝  2    2   n⎠
= -oo

Exercice 18 p. 49

In [170]:
limitesuite(n**2*(-3*n+100))
Exepression développée : 
     3        2
- 3⋅n  + 100⋅n 
Expression factorisée : 
  2            
-n ⋅(3⋅n - 100)
Calcul de limite :
     2             
lim n ⋅(-3⋅n + 100)
n─→∞               
= -oo
In [171]:
limitesuite(2/n*(50 - 1/n))
Exepression développée : 
100   2 
─── - ──
 n     2
      n 
Expression factorisée : 
2⋅(50⋅n - 1)
────────────
      2     
     n      
Calcul de limite :
      ⎛     1⎞
    2⋅⎜50 - ─⎟
      ⎝     n⎠
lim ──────────
n─→∞    n     
= 0
In [172]:
limitesuite((2*n - 7)*(n**3 + 1))
Exepression développée : 
   4      3          
2⋅n  - 7⋅n  + 2⋅n - 7
Expression factorisée : 
                  ⎛ 2        ⎞
(n + 1)⋅(2⋅n - 7)⋅⎝n  - n + 1⎠
Calcul de limite :
              ⎛ 3    ⎞
lim (2⋅n - 7)⋅⎝n  + 1⎠
n─→∞                  
= oo
In [173]:
limitesuite((2 + 3/n)*(5 - 1/n**3))
Exepression développée : 
     15   2    3 
10 + ── - ── - ──
     n     3    4
          n    n 
Expression factorisée : 
          ⎛   3    ⎞
(2⋅n + 3)⋅⎝5⋅n  - 1⎠
────────────────────
          4         
         n          
Calcul de limite :
    ⎛    3⎞ ⎛    1 ⎞
lim ⎜2 + ─⎟⋅⎜5 - ──⎟
n─→∞⎝    n⎠ ⎜     3⎟
            ⎝    n ⎠
= 10
In [174]:
limitesuite(-Rational(1,2)*(n**2 + 3*n + 8)*(1/n - 3*sqrt(n)))
Exepression développée : 
   5/2      3/2                    
3⋅n      9⋅n              n   3   4
────── + ────── + 12⋅√n - ─ - ─ - ─
  2        2              2   2   n
Expression factorisée : 
⎛   3/2    ⎞ ⎛ 2          ⎞
⎝3⋅n    - 1⎠⋅⎝n  + 3⋅n + 8⎠
───────────────────────────
            2⋅n            
Calcul de limite :
                ⎛   2          ⎞
    ⎛        1⎞ ⎜  n    3⋅n    ⎟
lim ⎜-3⋅√n + ─⎟⋅⎜- ── - ─── - 4⎟
n─→∞⎝        n⎠ ⎝  2     2     ⎠
= oo

Exercice 19 p. 49

In [175]:
limitesuite(5/(n**2 + 3))
Exepression développée : 
  5   
──────
 2    
n  + 3
Expression factorisée : 
  5   
──────
 2    
n  + 3
Calcul de limite :
      5   
lim ──────
n─→∞ 2    
    n  + 3
= 0
In [176]:
limitesuite(1/(2*n - 1) - 3)
Exepression développée : 
        1   
-3 + ───────
     2⋅n - 1
Expression factorisée : 
-2⋅(3⋅n - 2) 
─────────────
   2⋅n - 1   
Calcul de limite :
    ⎛        1   ⎞
lim ⎜-3 + ───────⎟
n─→∞⎝     2⋅n - 1⎠
= -3
In [177]:
limitesuite(3/(2*n + 5*sqrt(n)))
Exepression développée : 
    3     
──────────
5⋅√n + 2⋅n
Expression factorisée : 
    3     
──────────
5⋅√n + 2⋅n
Calcul de limite :
        3     
lim ──────────
n─→∞5⋅√n + 2⋅n
= 0
In [178]:
limitesuite(1/(2*n + 1)*(-n**2 - 9))
Exepression développée : 
      2            
     n         9   
- ─────── - ───────
  2⋅n + 1   2⋅n + 1
Expression factorisée : 
 ⎛ 2    ⎞ 
-⎝n  + 9⎠ 
──────────
 2⋅n + 1  
Calcul de limite :
       2    
    - n  - 9
lim ────────
n─→∞2⋅n + 1 
= -oo
In [179]:
limitesuite(1/(3 - 4/n)**2)
Exepression développée : 
     1     
───────────
    24   16
9 - ── + ──
    n     2
         n 
Expression factorisée : 
     2    
    n     
──────────
         2
(3⋅n - 4) 
Calcul de limite :
       1    
lim ────────
n─→∞       2
    ⎛    4⎞ 
    ⎜3 - ─⎟ 
    ⎝    n⎠ 
= 1/9
In [180]:
limitesuite(4*n + 3 - 2/(1 - 5*n))
Exepression développée : 
             2    
4⋅n + 3 - ────────
          -5⋅n + 1
Expression factorisée : 
    2           
20⋅n  + 11⋅n - 1
────────────────
    5⋅n - 1     
Calcul de limite :
    ⎛             2    ⎞
lim ⎜4⋅n + 3 - ────────⎟
n─→∞⎝          -5⋅n + 1⎠
= oo

Exercice 20 p. 49

In [181]:
limitesuite((n + 2)/(1/sqrt(n) - 3))
Exepression développée : 
   n         2   
─────── + ───────
     1         1 
-3 + ──   -3 + ──
     √n        √n
Expression factorisée : 
-√n⋅(n + 2) 
────────────
  3⋅√n - 1  
Calcul de limite :
     n + 2 
lim ───────
n─→∞     1 
    -3 + ──
         √n
= -oo
In [182]:
limitesuite((2 + 5/n**2)/(3 - n**3))
Exepression développée : 
     5           2    
─────────── + ────────
   5      2      3    
- n  + 3⋅n    - n  + 3
Expression factorisée : 
 ⎛   2    ⎞ 
-⎝2⋅n  + 5⎠ 
────────────
 2 ⎛ 3    ⎞ 
n ⋅⎝n  - 3⎠ 
Calcul de limite :
         5  
     2 + ── 
          2 
         n  
lim ────────
n─→∞   3    
    - n  + 3
= 0
In [183]:
limitesuite((-5*n + 2)/(1/sqrt(n) - 3))
Exepression développée : 
    5⋅n        2   
- ─────── + ───────
       1         1 
  -3 + ──   -3 + ──
       √n        √n
Expression factorisée : 
√n⋅(5⋅n - 2)
────────────
  3⋅√n - 1  
Calcul de limite :
    -5⋅n + 2
lim ────────
n─→∞     1  
    -3 + ── 
         √n 
= oo
In [184]:
limitesuite((2 + 3/n)/(5 - 2/n**2))
Exepression développée : 
   3        2   
─────── + ──────
      2       2 
5⋅n - ─   5 - ──
      n        2
              n 
Expression factorisée : 
n⋅(2⋅n + 3)
───────────
     2     
  5⋅n  - 2 
Calcul de limite :
        3 
    2 + ─ 
        n 
lim ──────
n─→∞    2 
    5 - ──
         2
        n 
= 2/5

Exercice 22 page 50

In [185]:
limitesuite(4*n**2 - 3*n + 7)
Exepression développée : 
   2          
4⋅n  - 3⋅n + 7
Expression factorisée : 
   2          
4⋅n  - 3⋅n + 7
Calcul de limite :
    ⎛   2          ⎞
lim ⎝4⋅n  - 3⋅n + 7⎠
n─→∞                
= oo
In [186]:
limitesuite(-Rational(1,2)*n**3 + 3*n - Rational(1,4))
Exepression développée : 
   3          
  n          1
- ── + 3⋅n - ─
  2          4
Expression factorisée : 
 ⎛   3           ⎞ 
-⎝2⋅n  - 12⋅n + 1⎠ 
───────────────────
         4         
Calcul de limite :
    ⎛   3          ⎞
    ⎜  n          1⎟
lim ⎜- ── + 3⋅n - ─⎟
n─→∞⎝  2          4⎠
= -oo
In [187]:
limitesuite(n**5/5 - n**2/2 - 4000)
Exepression développée : 
 5    2       
n    n        
── - ── - 4000
5    2        
Expression factorisée : 
   5      2        
2⋅n  - 5⋅n  - 40000
───────────────────
         10        
Calcul de limite :
    ⎛ 5    2       ⎞
    ⎜n    n        ⎟
lim ⎜── - ── - 4000⎟
n─→∞⎝5    2        ⎠
= oo
In [188]:
limitesuite(Rational(1,2)*n**4 - 2*n**3 +5*n**2 - Rational(1,4))
Exepression développée : 
 4                  
n       3      2   1
── - 2⋅n  + 5⋅n  - ─
2                  4
Expression factorisée : 
   4      3       2    
2⋅n  - 8⋅n  + 20⋅n  - 1
───────────────────────
           4           
Calcul de limite :
    ⎛ 4                  ⎞
    ⎜n       3      2   1⎟
lim ⎜── - 2⋅n  + 5⋅n  - ─⎟
n─→∞⎝2                  4⎠
= oo

Exercice 23 page 50

In [189]:
limitesuite((6*n + 1)/(2*n + 5))
Exepression développée : 
  6⋅n        1   
─────── + ───────
2⋅n + 5   2⋅n + 5
Expression factorisée : 
6⋅n + 1
───────
2⋅n + 5
Calcul de limite :
    6⋅n + 1
lim ───────
n─→∞2⋅n + 5
= 3
In [190]:
limitesuite((-n**2 + 2*n - 4)/(3*n - 1))
Exepression développée : 
      2                      
     n        2⋅n        4   
- ─────── + ─────── - ───────
  3⋅n - 1   3⋅n - 1   3⋅n - 1
Expression factorisée : 
 ⎛ 2          ⎞ 
-⎝n  - 2⋅n + 4⎠ 
────────────────
    3⋅n - 1     
Calcul de limite :
       2          
    - n  + 2⋅n - 4
lim ──────────────
n─→∞   3⋅n - 1    
= -oo
In [191]:
limitesuite((n**2 - 3*n + 1)/(n**2 + 4))
Exepression développée : 
   2                    
  n       3⋅n       1   
────── - ────── + ──────
 2        2        2    
n  + 4   n  + 4   n  + 4
Expression factorisée : 
 2          
n  - 3⋅n + 1
────────────
    2       
   n  + 4   
Calcul de limite :
     2          
    n  - 3⋅n + 1
lim ────────────
n─→∞    2       
       n  + 4   
= 1
In [192]:
limitesuite((9 - n**2)/((3*n + 2)*(2*n + 1)))
Exepression développée : 
         2                       
        n                9       
- ────────────── + ──────────────
     2                2          
  6⋅n  + 7⋅n + 2   6⋅n  + 7⋅n + 2
Expression factorisée : 
 -(n - 3)⋅(n + 3)  
───────────────────
(2⋅n + 1)⋅(3⋅n + 2)
Calcul de limite :
             2         
          - n  + 9     
lim ───────────────────
n─→∞(2⋅n + 1)⋅(3⋅n + 2)
= -1/6
In [195]:
limitesuite((n**3 - 3*n**2 + 1)/(2*(n - 5)))
Exepression développée : 
    3           2             
   n         3⋅n         1    
──────── - ──────── + ────────
2⋅n - 10   2⋅n - 10   2⋅n - 10
Expression factorisée : 
 3      2    
n  - 3⋅n  + 1
─────────────
  2⋅(n - 5)  
Calcul de limite :
     3      2    
    n  - 3⋅n  + 1
lim ─────────────
n─→∞   2⋅n - 10  
= oo
In [197]:
limitesuite(Rational(1,3) - n/(2*n + 1)**2)
Exepression développée : 
        n          1
- ────────────── + ─
     2             3
  4⋅n  + 4⋅n + 1    
Expression factorisée : 
   2        
4⋅n  + n + 1
────────────
           2
3⋅(2⋅n + 1) 
Calcul de limite :
    ⎛      n        1⎞
lim ⎜- ────────── + ─⎟
n─→∞⎜           2   3⎟
    ⎝  (2⋅n + 1)     ⎠
= 1/3

Exercice 24 p. 50

In [193]:
limitesuite((n**4 - 1/n**2)*(1/n + 1/n**3))
Exepression développée : 
 3       1    1 
n  + n - ── - ──
          3    5
         n    n 
Expression factorisée : 
                ⎛ 2    ⎞ ⎛ 2        ⎞ ⎛ 2        ⎞
(n - 1)⋅(n + 1)⋅⎝n  + 1⎠⋅⎝n  - n + 1⎠⋅⎝n  + n + 1⎠
──────────────────────────────────────────────────
                         5                        
                        n                         
Calcul de limite :
    ⎛1   1 ⎞ ⎛ 4   1 ⎞
lim ⎜─ + ──⎟⋅⎜n  - ──⎟
n─→∞⎜n    3⎟ ⎜      2⎟
    ⎝    n ⎠ ⎝     n ⎠
= oo
In [194]:
limitesuite((1/sqrt(n))/(1/n**3 - 1/n))
Exepression développée : 
     1     
───────────
  1     1  
- ── + ────
  √n    5/2
       n   
Expression factorisée : 
       5/2     
     -n        
───────────────
(n - 1)⋅(n + 1)
Calcul de limite :
          1      
lim ─────────────
n─→∞   ⎛  1   1 ⎞
    √n⋅⎜- ─ + ──⎟
       ⎜  n    3⎟
       ⎝      n ⎠
= -oo
In [199]:
limitesuite(sqrt(n) - n)
Exepression développée : 
√n - n
Expression factorisée : 
√n - n
Calcul de limite :
lim (√n - n)
n─→∞        
= -oo
In [200]:
limitesuite(sqrt(n)/(n + sqrt(n)))
Exepression développée : 
  √n  
──────
√n + n
Expression factorisée : 
  √n  
──────
√n + n
Calcul de limite :
      √n  
lim ──────
n─→∞√n + n
= 0