Import des bibliothèques Python¶
In [1]:
import numpy as np #pour disposer des tableaux de type array
import matplotlib.pyplot as plt #pour les graphiques
In [2]:
% matplotlib inline
#pour l'affichage des graphiques dans la page et non pas dans une fenetre pop up
In [3]:
import operator #pour utiliser les opérateurs de base sous forme de fonctions
In [4]:
from sympy import * #pour le calcul formel
init_printing()
t = symbols('t')
In [5]:
def dérivée(exp, t):
return diff(exp,t)
def simplifier(exp):
return simplify(exp)
Résolution approchée de $g(x)=0$ par dichotomie, exo 8 de la fiche¶
Soit $f$ la fonction définie sur$[-5;-1]$ par $g(x)=2x^3+3x^2+2$ definie sur $[-5;-1]$ et dérivable sur $[-5;-1]$.
Question 1 : Calcul de dérivée¶
In [6]:
#expression de f(x)
fexp = 2*t**3 + 3*t**2 + 2
fexp
Out[6]:
In [7]:
#expression de f'(x)
fprimexp = dérivée(fexp, t)
fprimexp
Out[7]:
In [8]:
simplifier(fprimexp)
Out[8]:
Questions 2 et 3 Etude des variations de $f$¶
In [9]:
f = lambdify(t, fexp,"numpy")
fprim = lambdify(t, fprimexp,"numpy")
In [10]:
#tracé des courbes de f et f'
#Message d'erreur pour f' pour le point d'abscisse 0 (division par 0)
xmin, xmax, ymin, ymax = -5, -1, -20 , 20
plt.axis([xmin, xmax, ymin, ymax])
tx = np.linspace(xmin, xmax, 1001)
ty = f(tx)
tz = fprim(tx)
plt.axhline(color='blue')
plt.axvline(color='blue')
plt.grid(True)
plt.plot(tx, ty, linestyle='-', linewidth=2, color='red', label=r'$y=f(x)$')
plt.plot(tx, tz, linestyle='-', linewidth=1, color='green', label=r"$y=f'(x)$")
plt.legend(loc='lower right')
Out[10]:
Question 4 Existence de solutions de l'équation $g(x)=0$¶
- $g:x \mapsto g(x)=2x^3+3x^2+2$ est dérivable donc continue sur $[-5;-1]$
- $g(-5)<0$ et $g(-1)>0$
- $f$ est strictement croissante sur $[-5;-1]$
D'après un corollaire du théorème des valeurs intermédiaires, l'équation $g(x)=0$ possède donc une unique solution $\alpha$ dans l'intervalle $[-5;-1]$
Résolution approchée par balayage¶
In [12]:
def balayage(g, a, b, pas, k):
"""Retourne un intervalle d'amplitude pas encadrant l'unique solution de g(x)= k
dans l'intervalle [a,b]"""
if g(a) < k:
comparaison = lambda u, v : operator.lt(u,v)
else:
comparaison = lambda u, v : operator.gt(u,v)
x = a
#en-tete du tableau
print('|{etape:^16}|{t:^12}|{ft:^12}|'.format(etape='Etape', t='t', ft='g(t)'))
count = 1
while comparaison(g(x), k):
print('|{etape:^16}|{t:^12.6f}|{ft:^12.6f}|'.format(etape=count,t=x, ft=g(x)))
x += pas
count += 1
print('|{etape:^16}|{t:^12.6f}|{ft:^12.6f}|'.format(etape=count,t=x, ft=g(x)))
return x - pas, x
In [13]:
balayage(f, -5, -1, 0.1, 0)
Out[13]:
In [14]:
balayage(f, -1.9, -1.8, 0.01, 0)
Out[14]:
In [15]:
balayage(f, -1.81, -1.8, 0.001, 0)
Out[15]:
Résolution approchée par dichotomie¶
Fonctions Python¶
In [16]:
def dicho(f,a,b,e, k):
"""valeur approchée à e près de la solution de f(x)=k
sur [a,b]. On admet que l'utilisateur saisit des paramètres
où la dichotomie peut s'appliquer. Construit une figure
à chaque étape.
Les valeurs de a et b affichées sont celles en sortie de boucle."""
etape = 0 #nombre d'étapes
if f(a) <= f(b):
#croissant ou du moins passage de - Ã +
croissant = True
else:
croissant = False
while b - a > e:
etape += 1
#on calcule le milieu du segment [a,b]
m = (a+b)/2
#figure
x = np.linspace(a,b,500)
y = f(x)
plt.xlim(a,b)
if croissant:
plt.ylim(max(f(a),-50),min(f(b),50))
else:
plt.ylim(max(f(b),-50),min(f(a),50))
plt.plot(x,y,color='red')
plt.grid(True)
plt.axhline(k)
plt.title('a=%.4f et m=%.4f et b=%.4f'%(a,m,b))
plt.show()
#fin de la figure
s = (f(m) - k)*(f(a) - k)
#si f(m) - k et f(a) - k sont de meme signe, f(x)=k dans ]m,b[
if s > 0:
a = m
#si f(m) - k et f(a) - k sont de signes opposés, f(x)=k dans ]a,m]
else:
b = m
return a, b, etape
def dicho_tab(f,a,b,e, k):
"""valeur approchée à e près de la solution de f(x)=k
sur [a,b]. On admet que l'utilisateur saisit des paramètres
où la dichotomie peut s'appliquer.
Ne retourne rien mais remplit un tableau avec les valeurs
de a, b et m aux differentes etapes.
Les valeurs de a et b affichées sont celles en sortie de boucle"""
count = 0 #nombre d'étapes
if f(a) <= f(b):
#croissant ou du moins passage de - Ã +
croissant = True
else:
croissant = False
#en-tete du tableau
print('|{etape:^16}|{median:^12}|{test:^10}|{binf:^12}|{bsup:^12}|'.format(etape='Etape',
binf='a', bsup='b', median='m',
test='Choix ?'))
#première ligne du tableau
#remplissage de la ligne du tableau
print('|{etape:^16}|{median:^12}|{test:^10}|{binf:^12}|{bsup:^12}|'.format(etape='initialisation',
binf=a, bsup=b, median=str(None),
test=str(None)))
while b - a > e:
count += 1
#on calcule le milieu du segment [a,b]
m = (a+b)/2
s = (f(m) - k)*(f(a) - k)
#si f(m) - k et f(a) - k sont de meme signe, f(x)=k dans ]m,b[
if s > 0:
a = m
#si f(m) - k et f(a) - k sont de signes opposés, f(x)=k dans ]a,m]
else:
b = m
#remplissage de la ligne du tableau
print('|{etape:^16}|{median:^12}|{test:^10}|{binf:^12}|{bsup:^12}|'.format(etape=count,
binf=a, bsup=b, median=m,
test= 'gauche' if b == m else 'droite'))
Résolution par dichotomie de l'équation $g(x)=0$ dans l'intervalle $[-5;-1]$¶
D'abord on s'arrete lorsque l'amplitude de l'intervalle $[a,b]$ est inférieure ou égale à $0,01$¶
In [17]:
dicho_tab(f, -5, -1, 0.01, 0)
In [18]:
dicho(f, -5, -1, 0.01, 0)
Out[18]:
Ensuite on s'arrete lorsque l'amplitude de l'intervalle $[a,b]$ est inférieure ou égale à $0,001$¶
In [20]:
dicho_tab(f, -5, -1, 0.001, 0)
In [21]:
dicho(f, -5, -1, 0.001, 0)
Out[21]: