In [1]:
from sympy import *
In [2]:
init_session()

IPython console for SymPy 1.0 (Python 3.5.2-32-bit) (ground types: python)

These commands were executed:
>>> from __future__ import division
>>> from sympy import *
>>> x, y, z, t = symbols('x y z t')
>>> k, m, n = symbols('k m n', integer=True)
>>> f, g, h = symbols('f g h', cls=Function)
>>> init_printing()

Documentation can be found at http://docs.sympy.org/1.0/
In [16]:
def deriver(fx):
    return diff(fx, x)

def simplifier(exp):
    return simplify(exp)

$f$ définie sur $[0;+\infty[$ par $f(x)=\frac{2x}{\sqrt{x^2+1}}$.

$f$ est dérivable sur $[0;+\infty[$ comme quotient de fonctions dérivables sur $[0;+\infty[$.

In [14]:
fx = (2 * x)/sqrt(x**2 + 1)
In [11]:
deriver(fx)
Out[11]:
$$- \frac{2 x^{2}}{\left(x^{2} + 1\right)^{\frac{3}{2}}} + \frac{2}{\sqrt{x^{2} + 1}}$$

Première expression de $f'(x)$.

On a $(x^2+1)^{\frac{3}{2}}=(x^2+1)\sqrt{x^2+1}$ mais cette notation est hors-programme

In [15]:
fprimx = simplifier(deriver(fx))
fprimx
Out[15]:
$$\frac{2}{\left(x^{2} + 1\right)^{\frac{3}{2}}}$$

Autre expression de $f'(x)$

In [24]:
fprimxbis = 2*sqrt(x**2 + 1)/(x**4 + 2 * x**2 + 1)
fprimxbis
Out[24]:
$$\frac{2 \sqrt{x^{2} + 1}}{x^{4} + 2 x^{2} + 1}$$
In [25]:
simplifier(fprimxbis - fprimx)
Out[25]:
$$0$$

Les deux expressions de la dérivée sont égales donc pour tout réel $x \geqslant 0$ on a : $$f'(x)=\frac{2 \sqrt{x^{2} + 1}}{x^{4} + 2 x^{2} + 1}$$

Pour tout réel $ x \geqslant 0$ on a $2 \sqrt{x^{2} + 1} >0 $ et $ x^{4} + 2 x^{2} + 1 > 0$ donc $f'(x) > 0$.

On en déduit que $f$ est strictement croissante sur $[0;+\infty[$ et donc que si $0 < x < 2$ alors $f(0) < f(x) < f(2)$. Or $f(0)=0$ et $f(2)=\frac{4}{\sqrt{5}}$ qui est inférieur à $2$ car $\sqrt{5}>\sqrt{4}$ et donc $\frac{4}{\sqrt{5}}<\frac{4}{\sqrt{4}}$, ce dernier étant égal à $2$.

Par conséquent que si $0 < x < 2$ alors $0 < f(x) < 2$.

On définit la suite $\left(u_{n}\right)$ définie par $u_{0}=5$ et pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1}=f(u_{n})$.

Pour tout entier naturel $n$ on définit la propriété : \( P_{n} : 0 < u_{n} < u_{n+1} < 2 \).

Démontrons par récurrence que $P_{n}$ est vraie pour tout entier $n \geqslant 0$

  • Initialisation :

    On a $u_{0} = 0,5$ et $u_{1} = \frac{1}{\sqrt{1,25}}\approx 0,9$ donc $0< u_{0} < u_{1} < 2$ donc $P_{0}$ est vraie.

  • Hérédité :

    Soit un entier $n \geqslant 0$ tel que $P_{n}$ est vraie.

    Par hypothèse de récurrence on a $0

    De plus $f$ est strictement croissante sur $[0;+\infty[$ donc : $$f(u_{n}) < f(u_{n+1})$$ Par ailleurs on a démontré qu si $0

    Ainsi on a : $$ 0 < f(u_{n}) < f(u_{n+1}) < 2 $$

    $$ 0 < u_{n+1} < u_{n+2} < 2 $$

    La propriété $P_{n+1}$ est donc vraie.

  • Conclusion :

    La propriété $P_{n}$ est initialisée pour $n=0$ et elle est héréditaire donc par récurrence elle est vraie pour tout entier $n \geqslant 0$.

On a démontré par récurrence que pour tout entier $n \geqslant 0$ on a $0$<$u_{n}$<$u_{n+1}$<$2$.

  • Pour tout entier $n \geqslant 0$ on a $u_{n}$<$u_{n+1}$ donc la suite $\left(u_{n}\right)$ est croissante.

  • Pour tout entier $n \geqslant 0$ on a $u_{n}< 2$ donc la suite $\left(u_{n}\right)$ est majorée par $2$.

D'après le théorème de convergence monotone, on peut conclure que la suite $\left(u_{n}\right)$ converge vers une limite $\ell$.

Par ailleurs, pour tout entier $n \geqslant 0$ on a $0$<$u_{n}$<$2$ donc en passant à la limite on obtient $ 0 \leqslant \ell \leqslant 2$ (les inégalités deviennent larges, en fait on a $0 < u_{0} \leqslant \ell$ car $\left(u_{n}\right)$ est croissante).