Exponentielle, exercices du 15/05/2024

Exercice 1

Soit xx un réel non nul, démontrer les égalités suivantes :

  • (ex)2e2x−1=11−e−2x\frac{(\text{e}^{x})^{2}}{\text{e}^{2x}-1}=\frac{1}{1-\text{e}^{-2x}}
  • (ex2+e−x2)2=(ex+1)(e−x+1)\left(\text{e}^{\frac{x}{2}} +\text{e}^{-\frac{x}{2}}\right)^{2}= (\text{e}^{x} + 1)(\text{e}^{-x} + 1)

Exercice 2 (partie 1)

Soit hh la fonction d'expression

h(x)=ex−1ex+1h(x)=\frac{\text{e}^{x}-1}{\text{e}^{x}+1}

(Q1) Justifier que hh est définie et dérivable sur R\mathbb{R}.
(Q2) Démontrer que hh est strictement croissante sur R\mathbb{R}

Exercice 2 (partie 2)

Soit hh définie sur R\mathbb{R} par h(x)=ex−1ex+1h(x)=\frac{\text{e}^{x}-1}{\text{e}^{x}+1}

(Q3) Démontrer que :

∀x∈R,−1<h(x)<1\forall x \in \mathbb{R}, -1 < h(x) < 1

(Q4) Démontrer que :

∀x∈R,h(−x)=−h(x)\forall x \in \mathbb{R}, h(-x) = -h(x)

(Q5) Interprétation pour la courbe de hh ?