Exponentielle, exercices du 13/05/2024

Exercice 1

Soit xx un réel, simplifier les expressions suivantes :

  • (exp(x+1))2×exp(−2x+1)(\text{exp}(x+1))^{2}\times \text{exp}(-2x+1)
  • exp(4x+1)exp(3−2x)\frac{\text{exp}(4x+1)}{\text{exp}(3-2x)}
  • exp(3x)×exp(2)exp(5)×(exp(−x))3\frac{\text{exp}(3x) \times \text{exp}(2)}{\text{exp}(5) \times (\text{exp}(-x))^{3}}

Exercice 2

Pour chacune des suites définies ci-dessous, démontrer qu'elle est géométrique et déterminer sa raison.

  • ∀n∈N, un=3e−n\forall n \in \mathbb{N}, \: u_{n} = 3 \text{e}^{-n}
  • ∀n∈N, vn=ene−4n+3\forall n \in \mathbb{N}, \: v_{n} = \text{e}^{n} \text{e}^{-4n+3}
  • ∀n∈N, wn=e3n+1(e−n)2\forall n \in \mathbb{N}, \: w_{n} = \frac{\text{e}^{3n+1}}{(\text{e}^{-n})^{2}}

Exercice 3

Soit nn un entier strictement positif.

Simplifier les expressions suivantes :

  • ∏k=1nek=e1×e2×…×en\prod_{k=1}^{n}\text{e}^{k}=\text{e}^{1} \times \text{e}^{2} \times \ldots \times \text{e}^{n}

  • ∑k=1nek=e1+e2+…+en\sum_{k=1}^{n}\text{e}^{k}=\text{e}^{1} + \text{e}^{2} + \ldots + \text{e}^{n}

Exercice 4 (partie 1)

Soit hh la fonction d'expression

h(x)=ex−1ex+1h(x)=\frac{\text{e}^{x}-1}{\text{e}^{x}+1}

(Q1) Justifier que hh est définie et dérivable sur R\mathbb{R}.
(Q2) Démontrer que hh est strictement croissante sur R\mathbb{R}

Exercice 4 (partie 2)

Soit hh définie sur R\mathbb{R} par h(x)=ex−1ex+1h(x)=\frac{\text{e}^{x}-1}{\text{e}^{x}+1}

(Q3) Démontrer que :

∀x∈R,−1<h(x)<1\forall x \in \mathbb{R}, -1 < h(x) < 1

(Q4) Démontrer que :

∀x∈R,h(−x)=−h(x)\forall x \in \mathbb{R}, h(-x) = -h(x)

(Q5) Interprétation pour la courbe de hh ?