Rituel du 13/11/2023

Question 1

Soit la fonction inverse $f$ définie sur $]-\infty;0[ \cup ]0;+\infty[$ par $f(x)=\frac{1}{x}$.

• Déterminez une équation de la tangente $T$ à la courbe de $f$ au point d'abscisse $6$.
• Calculez les coordonnées du point d'intersection de $T$ avec l'axe des abscisses du repère.

Correction de la question 1 (1 / 2)

Une équation de la tangente $T$ à la courbe de $f$ au point d'abscisse $6$ est :

$y= f'(6)(x-6) +f(6)=-\frac{1}{6^{2}}(x-6)+\frac{1}{6}$

Correction de la question 1 (2 / 2)

Les coordonnées du point d'intersection de $T$ avec l'axe des abscisses du repère vérifient le système d'équations :

$\begin{cases} y = 0 \\ 0=-\frac{1}{6^{2}}(x-6)+\frac{1}{6} \end{cases} \Longleftrightarrow \begin{cases} y = 0 \\ 12=x \end{cases}$

Question 2

Soit $f_{1}$ fonction dérivable sur $\mathbb{R}$ telle que pour tout réel $x$, $f_{1}(x)=x^{12}$.

Déterminer une expression de sa fonction dérivée.

Correction de la question 2

Pour tout réel $x$ :

Si $f_{1}(x)=x^{12}$, alors $f'_{1}(x)=12x^{11}$.

Question 3

Soit $f_{3}$ fonction dérivable sur $\mathbb{R}$ telle que pour tout réel $x$, $f_{3}(x)=\frac{x}{5}-\frac{1-x}{6}$.

Déterminer une expression de sa fonction dérivée.

Correction de la question 3

Pour tout réel $x$ :

Si $f_{3}(x)=\frac{x}{5}-\frac{1-x}{6}$, alors $f'_{3}(x)=\frac{1}{5}-(-\frac{1}{6})=\frac{11}{30}$.

Question 4

Soit $f_{5}$ la fonction définie sur $[0;+\infty[$ par $f_{5}(x)=\sqrt{x}$.

• $f_{5}$ est-elle dérivable sur tout son intervalle de définition ?
• $f_{5}$ est dérivable en $20$. Quelle est la valeur de $f'_{5}(20)$ ?

Correction de la question 4

La fonction racine carrée n'est pas dérivable sur tout son intervalle de définition, car elle n'est pas dérivable en $0$.

$f_{5}$ est dérivable en $20$ et :

$f'_{5}(20)=\frac{1}{2\sqrt{20}}=\frac{1}{4 \sqrt{5}}$