In [59]:
from sympy import *
init_session()
init_printing()

IPython console for SymPy 1.0 (Python 3.5.2-32-bit) (ground types: python)

These commands were executed:
>>> from __future__ import division
>>> from sympy import *
>>> x, y, z, t = symbols('x y z t')
>>> k, m, n = symbols('k m n', integer=True)
>>> f, g, h = symbols('f g h', cls=Function)
>>> init_printing()

Documentation can be found at http://docs.sympy.org/1.0/
In [60]:
def equation(expr, membre):
    exp1 = expand(expr - membre)
    coefs = [(exp1 - membre).coeff(x, k) for k in range(2, -1, -1)] 
    return Eq(expr, membre), coefs

def resoudre (equ, x):
    e, [a, b, c] = equ
    print("a = {:} b = {:} c = {:}  Delta = {:}".format(a, b, c, simplify(b**2 - 4*a*c)))
    return solve(e, x)

def factoriser(expr):
    return factor(expr)

def forme_canonique(expr):
    expr = expand(expr)
    [c, b, a] = [expr.coeff(x, k) for k in range(3)]    
    alpha  = Rational(-b, 2*a)
    beta = a*alpha**2 + b*alpha + c    
    return a*(x - alpha)**2 + beta
In [61]:
forme_canonique(x**2 - 1 - x)
Out[61]:
$$\left(x - \frac{1}{2}\right)^{2} - \frac{5}{4}$$

Correction d'exercices du manuel

Exercice 6 p. 18

In [62]:
forme_canonique(2*x**2 +12*x - 5)
Out[62]:
$$2 \left(x + 3\right)^{2} - 23$$
In [63]:
forme_canonique(-x**2 - 2*x + 5)
Out[63]:
$$- \left(x + 1\right)^{2} + 6$$
In [64]:
forme_canonique(-x**2 + 2*x + 16)
Out[64]:
$$- \left(x - 1\right)^{2} + 17$$
In [65]:
forme_canonique(-x**2 - 2*x - 17)
Out[65]:
$$- \left(x + 1\right)^{2} - 16$$

Exercice 7 p. 18

In [66]:
forme_canonique(x**2 + 6*x)
Out[66]:
$$\left(x + 3\right)^{2} - 9$$
In [67]:
forme_canonique(-x**2 - 2*x + 5 )
Out[67]:
$$- \left(x + 1\right)^{2} + 6$$
In [68]:
forme_canonique(x**2 + 6*x + 9)
Out[68]:
$$\left(x + 3\right)^{2}$$
In [69]:
forme_canonique(x**2 - 6*x + 11 )
Out[69]:
$$\left(x - 3\right)^{2} + 2$$

Exercices 46 à 49 page 20

In [112]:
eq1 = equation(15*x**2 + x - 6, x)
eq1
Out[112]:
$$\left ( 15 x^{2} + x - 6 = x, \quad \left [ 15, \quad -1, \quad -6\right ]\right )$$
In [113]:
resoudre(eq1, x)

a = 15 b = -1 c = -6  Delta = 361
Out[113]:
$$\left [ - \frac{\sqrt{10}}{5}, \quad \frac{\sqrt{10}}{5}\right ]$$
In [114]:
eq1 = equation(x**2 - 2*x - 15, x)
eq1
Out[114]:
$$\left ( x^{2} - 2 x - 15 = x, \quad \left [ 1, \quad -4, \quad -15\right ]\right )$$
In [116]:
resoudre(eq1, x)

a = 1 b = -4 c = -15  Delta = 76
Out[116]:
$$\left [ \frac{3}{2} + \frac{\sqrt{69}}{2}, \quad - \frac{\sqrt{69}}{2} + \frac{3}{2}\right ]$$
In [117]:
eq1 = equation(5*x**2 - 7*x + 6, x)
eq1
Out[117]:
$$\left ( 5 x^{2} - 7 x + 6 = x, \quad \left [ 5, \quad -9, \quad 6\right ]\right )$$
In [118]:
resoudre(eq1, x)

a = 5 b = -9 c = 6  Delta = -39
Out[118]:
$$\left [ \frac{4}{5} - \frac{\sqrt{14} i}{5}, \quad \frac{4}{5} + \frac{\sqrt{14} i}{5}\right ]$$
In [120]:
eq1 = equation(4*x**2 - 20*x + 21, x)
eq1
Out[120]:
$$\left ( 4 x^{2} - 20 x + 21 = x, \quad \left [ 4, \quad -22, \quad 21\right ]\right )$$
In [121]:
resoudre(eq1, x)

a = 4 b = -22 c = 21  Delta = 148
Out[121]:
$$\left [ - \frac{\sqrt{105}}{8} + \frac{21}{8}, \quad \frac{\sqrt{105}}{8} + \frac{21}{8}\right ]$$
In [122]:
eq1 = equation(2*x**2 + 5*x + 3, x)
eq1
Out[122]:
$$\left ( 2 x^{2} + 5 x + 3 = x, \quad \left [ 2, \quad 3, \quad 3\right ]\right )$$
In [123]:
resoudre(eq1, x)

a = 2 b = 3 c = 3  Delta = -15
Out[123]:
$$\left [ -1 - \frac{\sqrt{2} i}{2}, \quad -1 + \frac{\sqrt{2} i}{2}\right ]$$
In [124]:
eq1 = equation(4*x**2 - 7*x - 2, x)
eq1
Out[124]:
$$\left ( 4 x^{2} - 7 x - 2 = x, \quad \left [ 4, \quad -9, \quad -2\right ]\right )$$
In [125]:
resoudre(eq1, x)

a = 4 b = -9 c = -2  Delta = 113
Out[125]:
$$\left [ 1 + \frac{\sqrt{6}}{2}, \quad - \frac{\sqrt{6}}{2} + 1\right ]$$
In [126]:
eq1 = equation(x**2 - 3*x + 2, x)
eq1
Out[126]:
$$\left ( x^{2} - 3 x + 2 = x, \quad \left [ 1, \quad -5, \quad 2\right ]\right )$$
In [127]:
resoudre(eq1, x)

a = 1 b = -5 c = 2  Delta = 17
Out[127]:
$$\left [ - \sqrt{2} + 2, \quad \sqrt{2} + 2\right ]$$
In [128]:
eq1 = equation(x**2 - 3*x - 2, x)
eq1
Out[128]:
$$\left ( x^{2} - 3 x - 2 = x, \quad \left [ 1, \quad -5, \quad -2\right ]\right )$$
In [129]:
resoudre(eq1, x)

a = 1 b = -5 c = -2  Delta = 33
Out[129]:
$$\left [ 2 + \sqrt{6}, \quad - \sqrt{6} + 2\right ]$$
In [130]:
eq1 = equation(-x**2 + 3*x - 2, x)
eq1
Out[130]:
$$\left ( - x^{2} + 3 x - 2 = x, \quad \left [ -1, \quad 1, \quad -2\right ]\right )$$
In [131]:
resoudre(eq1, x)

a = -1 b = 1 c = -2  Delta = -7
Out[131]:
$$\left [ 1 - i, \quad 1 + i\right ]$$
In [136]:
eq1 = equation(2*x**2 + 6*x - 4, x)
eq1
Out[136]:
$$\left ( 2 x^{2} + 6 x - 4 = x, \quad \left [ 2, \quad 4, \quad -4\right ]\right )$$
In [137]:
resoudre(eq1, x)

a = 2 b = 4 c = -4  Delta = 48
Out[137]:
$$\left [ - \frac{5}{4} + \frac{\sqrt{57}}{4}, \quad - \frac{\sqrt{57}}{4} - \frac{5}{4}\right ]$$

Exercices de la fiche 1

Correction de l'exercice 8 de la fiche d'exercice

In [70]:
eq1 = equation(5*x**2 - 5*x - 30, 0)
eq1
Out[70]:
$$\left ( 5 x^{2} - 5 x - 30 = 0, \quad \left [ 5, \quad -5, \quad -30\right ]\right )$$
In [71]:
print('Ensemble de solutions (crochets à la place d\'accolades) : ')
resoudre(eq1, x)

Ensemble de solutions (crochets à la place d'accolades) : 
a = 5 b = -5 c = -30  Delta = 625
Out[71]:
$$\left [ -2, \quad 3\right ]$$
In [72]:
eq2 = equation(7*x**2 + x + 3, 0)
eq2
Out[72]:
$$\left ( 7 x^{2} + x + 3 = 0, \quad \left [ 7, \quad 1, \quad 3\right ]\right )$$
In [73]:
print('Ensemble de solutions (crochets à la place d\'accolades) : ')
resoudre(eq2, x)

Ensemble de solutions (crochets à la place d'accolades) : 
a = 7 b = 1 c = 3  Delta = -83
Out[73]:
$$\left [ - \frac{1}{14} - \frac{\sqrt{83} i}{14}, \quad - \frac{1}{14} + \frac{\sqrt{83} i}{14}\right ]$$
In [74]:
eq3 = equation(5*x**2 + 110*x + 605, 0)
eq3
Out[74]:
$$\left ( 5 x^{2} + 110 x + 605 = 0, \quad \left [ 5, \quad 110, \quad 605\right ]\right )$$
In [75]:
print('Ensemble de solutions (crochets à la place d\'accolades) : ')
resoudre(eq3, x)

Ensemble de solutions (crochets à la place d'accolades) : 
a = 5 b = 110 c = 605  Delta = 0
Out[75]:
$$\left [ -11\right ]$$
In [76]:
eq4 = equation(x**2 -2*x+1, 0)
eq4
Out[76]:
$$\left ( x^{2} - 2 x + 1 = 0, \quad \left [ 1, \quad -2, \quad 1\right ]\right )$$
In [77]:
print('Ensemble de solutions (crochets à la place d\'accolades) : ')
resoudre(eq4, x)

Ensemble de solutions (crochets à la place d'accolades) : 
a = 1 b = -2 c = 1  Delta = 0
Out[77]:
$$\left [ 1\right ]$$
In [78]:
eq5 = equation(x**2, 7)
eq5
Out[78]:
$$\left ( x^{2} = 7, \quad \left [ 1, \quad 0, \quad -14\right ]\right )$$
In [79]:
print('Ensemble de solutions (crochets à la place d\'accolades) : ')
resoudre(eq5, x)

Ensemble de solutions (crochets à la place d'accolades) : 
a = 1 b = 0 c = -14  Delta = 56
Out[79]:
$$\left [ - \sqrt{7}, \quad \sqrt{7}\right ]$$
In [80]:
eq6 = equation(2-x**2, 5)
eq6
Out[80]:
$$\left ( - x^{2} + 2 = 5, \quad \left [ -1, \quad 0, \quad -8\right ]\right )$$
In [81]:
print('Ensemble de solutions (crochets à la place d\'accolades) : ')
resoudre(eq6, x)

Ensemble de solutions (crochets à la place d'accolades) : 
a = -1 b = 0 c = -8  Delta = -32
Out[81]:
$$\left [ - \sqrt{3} i, \quad \sqrt{3} i\right ]$$
In [82]:
eq6 = equation(-6*x**2-24*x+270, 0)
eq6
Out[82]:
$$\left ( - 6 x^{2} - 24 x + 270 = 0, \quad \left [ -6, \quad -24, \quad 270\right ]\right )$$
In [83]:
print('Ensemble de solutions (crochets à la place d\'accolades) : ')
resoudre(eq6, x)

Ensemble de solutions (crochets à la place d'accolades) : 
a = -6 b = -24 c = 270  Delta = 7056
Out[83]:
$$\left [ -9, \quad 5\right ]$$
In [84]:
eq6 = equation((2*x-5)**2, 3)
eq6
Out[84]:
$$\left ( \left(2 x - 5\right)^{2} = 3, \quad \left [ 4, \quad -20, \quad 19\right ]\right )$$
In [85]:
print('Ensemble de solutions (crochets à la place d\'accolades) : ')
resoudre(eq6, x)

Ensemble de solutions (crochets à la place d'accolades) : 
a = 4 b = -20 c = 19  Delta = 96
Out[85]:
$$\left [ - \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{5}{2}, \quad \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{5}{2}\right ]$$
In [86]:
eq6 = equation((3*x+5)**2, (x+1)**2)
eq6
Out[86]:
$$\left ( \left(3 x + 5\right)^{2} = \left(x + 1\right)^{2}, \quad \left [ 8, \quad 28, \quad 24\right ]\right )$$
In [87]:
print('Ensemble de solutions (crochets à la place d\'accolades) : ')
resoudre(eq6, x)

Ensemble de solutions (crochets à la place d'accolades) : 
a = 8 b = 28 c = 24  Delta = 16
Out[87]:
$$\left [ -2, \quad - \frac{3}{2}\right ]$$
In [88]:
eq6 = equation((2*x-5)**2+3, 0)
eq6
Out[88]:
$$\left ( \left(2 x - 5\right)^{2} + 3 = 0, \quad \left [ 4, \quad -20, \quad 28\right ]\right )$$
In [89]:
print('Ensemble de solutions (crochets à la place d\'accolades) : ')
resoudre(eq6, x)

Ensemble de solutions (crochets à la place d'accolades) : 
a = 4 b = -20 c = 28  Delta = -48
Out[89]:
$$\left [ \frac{5}{2} - \frac{\sqrt{3} i}{2}, \quad \frac{5}{2} + \frac{\sqrt{3} i}{2}\right ]$$
In [90]:
eq6 = equation(6*x**4+x**2-1,0)
eq6
Out[90]:
$$\left ( 6 x^{4} + x^{2} - 1 = 0, \quad \left [ 1, \quad 0, \quad -1\right ]\right )$$
In [91]:
print('Ensemble de solutions (crochets à la place d\'accolades) : ')
resoudre(eq6, x)

Ensemble de solutions (crochets à la place d'accolades) : 
a = 1 b = 0 c = -1  Delta = 4
Out[91]:
$$\left [ - \frac{\sqrt{3}}{3}, \quad \frac{\sqrt{3}}{3}, \quad - \frac{\sqrt{2} i}{2}, \quad \frac{\sqrt{2} i}{2}\right ]$$
In [92]:
eq6 = equation(sqrt(x+1),2*x-3)
eq6
Out[92]:
$$\left ( \sqrt{x + 1} = 2 x - 3, \quad \left [ 0, \quad -4, \quad 6\right ]\right )$$
In [93]:
print('Ensemble de solutions (crochets à la place d\'accolades) : ')
resoudre(eq6, x)

Ensemble de solutions (crochets à la place d'accolades) : 
a = 0 b = -4 c = 6  Delta = 16
Out[93]:
$$\left [ \frac{\sqrt{41}}{8} + \frac{13}{8}\right ]$$
In [94]:
eq6 = equation(x**4,3-3*x**2)
eq6
Out[94]:
$$\left ( x^{4} = - 3 x^{2} + 3, \quad \left [ 6, \quad 0, \quad -6\right ]\right )$$
In [95]:
print('Ensemble de solutions (crochets à la place d\'accolades) : ')
resoudre(eq6, x)

Ensemble de solutions (crochets à la place d'accolades) : 
a = 6 b = 0 c = -6  Delta = 144
Out[95]:
$$\left [ - i \sqrt{\frac{3}{2} + \frac{\sqrt{21}}{2}}, \quad i \sqrt{\frac{3}{2} + \frac{\sqrt{21}}{2}}, \quad - \sqrt{- \frac{3}{2} + \frac{\sqrt{21}}{2}}, \quad \sqrt{- \frac{3}{2} + \frac{\sqrt{21}}{2}}\right ]$$
In [96]:
eq6 = equation(3/sqrt(x)+1/x,3)
eq6
Out[96]:
$$\left ( \frac{1}{x} + \frac{3}{\sqrt{x}} = 3, \quad \left [ 0, \quad 0, \quad -6\right ]\right )$$
In [97]:
print('Ensemble de solutions (crochets à la place d\'accolades) : ')
resoudre(eq6, x)

Ensemble de solutions (crochets à la place d'accolades) : 
a = 0 b = 0 c = -6  Delta = 0
Out[97]:
$$\left [ \frac{\sqrt{21}}{6} + \frac{5}{6}\right ]$$
In [98]:
eq6 = equation(5*x**2+3,2*x**4)
eq6
Out[98]:
$$\left ( 5 x^{2} + 3 = 2 x^{4}, \quad \left [ 5, \quad 0, \quad 3\right ]\right )$$
In [108]:
print('Ensemble de solutions (crochets à la place d\'accolades) : ')
resoudre(eq6, x**2)

Ensemble de solutions (crochets à la place d'accolades) : 
a = 5 b = 0 c = 3  Delta = -60
Out[108]:
$$\left [ - \frac{1}{2}, \quad 3\right ]$$

Les solutions de cette équation bicarrée sont donc $\sqrt{3}$ et $-\sqrt{3}$

Des équations supplémentaires pour s'entraîner

In [100]:
eq = equation(x**2+5*x-6,0)
eq
Out[100]:
$$\left ( x^{2} + 5 x - 6 = 0, \quad \left [ 1, \quad 5, \quad -6\right ]\right )$$
In [101]:
print('Ensemble de solutions (crochets à la place d\'accolades) : ')
resoudre(eq, x)

Ensemble de solutions (crochets à la place d'accolades) : 
a = 1 b = 5 c = -6  Delta = 49
Out[101]:
$$\left [ -6, \quad 1\right ]$$
In [102]:
eq = equation(x**2+x+2,0)
eq
Out[102]:
$$\left ( x^{2} + x + 2 = 0, \quad \left [ 1, \quad 1, \quad 2\right ]\right )$$
In [103]:
print('Ensemble de solutions (crochets à la place d\'accolades) : ')
resoudre(eq, x)

Ensemble de solutions (crochets à la place d'accolades) : 
a = 1 b = 1 c = 2  Delta = -7
Out[103]:
$$\left [ - \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{7} i}{2}, \quad - \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{7} i}{2}\right ]$$
In [104]:
eq = equation(-2*x**2+3*x+4,0)
eq
Out[104]:
$$\left ( - 2 x^{2} + 3 x + 4 = 0, \quad \left [ -2, \quad 3, \quad 4\right ]\right )$$
In [105]:
print('Ensemble de solutions (crochets à la place d\'accolades) : ')
resoudre(eq, x)

Ensemble de solutions (crochets à la place d'accolades) : 
a = -2 b = 3 c = 4  Delta = 41
Out[105]:
$$\left [ \frac{3}{4} + \frac{\sqrt{41}}{4}, \quad - \frac{\sqrt{41}}{4} + \frac{3}{4}\right ]$$
In [106]:
eq = equation(4*x**2-12*x+9,0)
eq
Out[106]:
$$\left ( 4 x^{2} - 12 x + 9 = 0, \quad \left [ 4, \quad -12, \quad 9\right ]\right )$$
In [107]:
print('Ensemble de solutions (crochets à la place d\'accolades) : ')
resoudre(eq, x)

Ensemble de solutions (crochets à la place d'accolades) : 
a = 4 b = -12 c = 9  Delta = 0
Out[107]:
$$\left [ \frac{3}{2}\right ]$$