Corrigé du TP 3 Enveloppe de droites (Manuel Indice TP2 page 162)

Nature de l'ensemble \(d_{m}\) et études de cas particuliers

1. 1. • \(d_{0}\) d'équation \(y-5=0\) est une droite parallèle à l'axe des abscisses.
      • \(d_{1}\) d'équation \(2x-5=0\) est une droite parallèle à l'axe des ordonnées.
      • \(d_{-1}\) d'équation \(-2x-5=0\) est une droite parallèle à l'axe des ordonnées.
      Pour tout réel \(m \notin \{0;1\}\) on a \(2m \neq 0 \) ou \(1-m^2\neq 0 \), donc \(d_{m}\) est une droite de vecteur directeur \(\overrightarrow{u_{m}}(m^2-1;2m)\).
   2. On a \(\overrightarrow{u_{2}}(3;4)\) et \(\overrightarrow{u_{-0,5}}(-0,75;-1)\) donc \(\overrightarrow{u_{2}} = -4\overrightarrow{u_{-0,5}} \) et les droites \(d_{2}\) et \(d_{-0,5}\) sont parallèles.
   3. En résolvant le système d'équations \[ \begin{cases}4x-3y-5=0 \\ -6x-8y-5=0 \end{cases} \], on prouve que les droites \(d_{2}\) et \(d_{-0,5}\) sont sécantes au point \(A\left(\frac{1}{2}; -1\right)\)
2. Soit le point \(B\left(8; -4\right)\).
   1. B appartient à la droite \(d_{m}\) ssi \(16m-4(1-m^2)-5=0 \Leftrightarrow 4m^2+16m-9=0\)
   2. B appartient à la droite \(d_{m}\) ssi \(4m^2+16m-9=0 \Leftrightarrow \mathbf{ \left\{ m = -\frac{9}{2}, m = \frac{1}{2} \right\} } \)
3. L'origine \(O(0;0)\) appartient à la droite \(d_{m}\) ssi \(-5=0 \). Cette équation n'a pas de solution.
   Le point \(C(2;3)\) appartient à la droite \(d_{m}\) ssi \(4m+3(1-m^2)-5=0 \Leftrightarrow -3m^2+4m-2=0\).
   Cette équation n'a pas de solution réelle car son discriminant est \(\Delta = -8 \).
4. Le point \(D(2;4)\) appartient à la droite \(d_{m}\) ssi \(-4m^2+4m-1=0\).
   Cette équation a une unique solution car car son discriminant est \(\Delta = -0 \).
5. Le point \(E(0;5)\) appartient à la droite \(d_{m}\) ssi \(-5m^2=0\). Cette équation a une unique solution \(m=0\).
   Le point \(F(0;2)\) appartient à la droite ssi \(-2m^2=3\). Cette équation n'a pas de solution.

Observations à l'aide d'un logiciel de géométrie.

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Le nombre de droites \(d_{m}\) passant par un point du cercle dépend de sa position par au disque de centre le point de coordonnées \((0;2,5)\) et de rayon \(2,5\) :

• Aucun point d'intersection si le point est à l'intérieur du disque ou si le point est l'origine du repère.
• Un seul point d'intersection si le point est sur la frontière du disque (le cercle de centre \((0;2,5)\) et de rayon \(2,5\) ) ou sur l'axe des abscisses privé du point origine.
• Deux points d'intersection si le point est à l'extérieur du disque et de l'axe des abscisses.

Démonstration des conjectures

1. Le point \(M(a;b)\) appartient à la droite \(d_{m}\) ssi \(2ma+(1-m^2)b-5=0 \Leftrightarrow -bm^2+2am+b-5=0\).
2. Si on suppose que le point \(M\) est sur l'axe des abscisses alors \(b=0\).
   \(M(a;0)\) appartient à la droite \(d_{m}\) ssi \(2ma-5=0 \Leftrightarrow \begin{cases} a \neq 0 \text{ et } m = \frac{5}{2a} \\ a =0 \text{ et pas de solution } \end{cases}\)
   Par conséquent, il passe une seule droite \(d_{m}\) par un point de l'axe des abscisses sauf si c'est l'origine et dans ce cas aucune droite \(d_{m}\) ne passe par le point.
3. On suppose désormais que \(M\) n'est pas sur l'axe des abascisses et que \(b \neq 0\).
   1. Le point \(M(a;b)\) appartient à la droite \(d_{m}\) ssi \(2ma+(1-m^2)b-5=0 \Leftrightarrow -bm^2+2am+b-5=0\). Soit l'équation du second degré d'inconnue \(m\) , \[-bm^2+2am+b-5=0\] Son discriminant est \[\Delta = 4a^2-4(-b)(b-5)=4a^2+4b^2-20b=4\left(a^2+b^2-5b\right)=4\left(a^2+\left(b-\frac{5}{2}\right)^2-\frac{25}{4}\right)=4\left(a^2+\left(b-\frac{5}{2}\right)^2\right)-25\] Si on considère le point \(\Omega \left(0;\frac{5}{2} \right)\), on remarque que \[\Delta = 4 \Omega M^2 -25 \]
4. On peut déduire de la question précédente, la discussion sur le nombre de droites \(d_{m}\) passant par le point \(M(a;b)\) lorsque ce point n'appartient pas à l'axe des abscisses :
   • Aucun point d'intersection si \( \Delta<0 \Leftrightarrow 0 \leqslant \Omega M < 2,5 \) c'est-à-dire si le point est à l'intérieur du disque ou si le point est l'origine du repère.
   • Un seul point d'intersection si \( \Delta=0 \Leftrightarrow \Omega M = 2,5 \) c'est-à-dire si si le point est sur la frontière du disque (le cercle de centre \((0;2,5)\) et de rayon \(2,5\) ) privée de son intersection avec l'axe des abscisses (soit le point origine).
   • Deux points d'intersection si \( \Delta>0 \Leftrightarrow \Omega M > 2,5 \) c'est-à-dire si le point est à l'extérieur du disque et de l'axe des abscisses.

Étude de la position relative des droites \(d_{m}\)

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1. 1. Voir fichier Geogebra.
   2. On peut conjecturer que les droites \(d_{m}\) et \(d_{p}\) sont parallèles pour les couples \((m;p)\) suivants : \((1;-1)\), \((2;-0,5)\) et \((0,5;-2)\).
   3. On peut conjecturer que pour \( m \neq p \), les droites \(d_{m}\) et \(d_{p}\) sont parallèles si et seulement si \(mp=-1\).
2. Preuve de la conjecture.
   \(d_{m}\) et \(d_{p}\) sont parallèles ssi leurs vecteurs directeurs \(\overrightarrow{u_{m}}(m^2-1;2m)\) et \(\overrightarrow{u_{p}}(p^2-1;2p)\) sont colinéaires.
   On applique que le critère de colinéarité.
   \(d_{m}\) et \(d_{p}\) sont parallèles ssi \(2m(p^2-1)-2p(m^2-1)=0 \Leftrightarrow p-m+mp(p-m)=0 \Leftrightarrow (p-m)(1+mp)=0 \)
   \(d_{m}\) et \(d_{p}\) sont parallèles ssi \(m=p\) ou \(mp=-1\).