Exemple 1

Cercle trigonométrique

1. On a \(JO=JA\) et \(JO=OA=1\) est la longueur d'un rayon du cercle trigonométrique. Par conséquent \(JO=JA=OA\) et le triangle \(JOA\) est équilatéral.

   L'angle \(\widehat{JOA}\) a donc pour mesure \(60^{\circ}\) c'est-à-dire \(\frac{2}{3}\) de la mesure de l'angle \(\widehat{JOI}\) qui mesure \(90^{\circ}\).

   La longueur d'un arc étant proportionnelle à la mesure de l'angle l'interceptant, la longueur de l'arc \(JA\) est donc égale à \(\frac{2}{3}\) de la longueur de l'arc \(JI\). Or l'arc \(JI\) a pour longueur \(\frac{1}{4}\) de la longueur du cercle qui est \(2\pi\) donc sa longueur est égale à \(\frac{2\pi}{4}=\frac{\pi}{2}\).

   La longueur de l'arc \(JI\) est donc égale à \(\frac{2}{3} \times \frac{2\pi}{4}=\frac{\pi}{3}\).

   L'arc \(AI\) complète l'arc \(JA\) pour former l'arc \(JI\), sa longueur est donc de \(\frac{\pi}{2}-\frac{\pi}{3}=\frac{\pi}{6}\).

2. On a \(IC=IO\) et \(IO=OC=1\) est la longueur d'un rayon du cercle trigonométrique. Par conséquent \(IC=IO=OC\) et le triangle \(CIO\) est équilatéral.

   On montre comme en 1. pour l'arc \(JA\) que la longueur de l'arc \(IC\) est \(\frac{\pi}{3}\).

   Les arcs \(IC\) et \(CO\) étant symétriques par rapport à la hauteur du triangle équilatéral \(CIO\) passant par \(C\), dons ils ont même longueur \(\frac{\pi}{3}\).

   Le périmètre de l'ogive délimitée par les arcs \(IC\) et \(CO\) et le rayon \([IO]\) est donc égal à \(2\times \frac{\pi}{3}+1\).

3. Chaque réel repère un unique point image sur le cercle trigonométrique d'origine \(I\).

   • Le point image de \(\pi\) est \(K\)

   • Le point image de \(\frac{\pi}{6}\) est \(A\)

   • Le point image de \(\frac{\pi}{2}\) est \(J\)

   • Le point image de \(-\pi\) est \(K\)

   • Le point image de \(-\frac{4\pi}{3}\) est \(D\)

   • Le point image de \(-2047\pi\) est \(K\)

   • Le point image de \(4\pi\) est \(I\)

   • Le point image de \(\frac{\pi}{3}\) est \(C\)

   • Le point image de \(\frac{\pi}{4}\) est \(B\)

   • Le point image de \(\frac{4\pi}{3}\) est \(D'\)

   • Le point image de \(-\frac{\pi}{2}\) est \(L\)

   • Le point image de \(-\frac{5\pi}{4}\) est \(E\)

4. Un point du cercle trigonométrique peut être l'image de plusieurs réels. La différence entre deux antécédents du même point doit être un multiple entier de \(2\pi\).

   • Le point \(I\) est l'image des réels \(0\), \(2\pi\) et \(-2\pi\)

   • Le point \(F\) est l'image des réels \(\frac{5\pi}{6}\), \(-\frac{7\pi}{3}\) et \(\frac{17\pi}{6}\)

   • Le point \(A'\) est l'image des réels \(-\frac{\pi}{6}\), \(\frac{11\pi}{6}\) et \(\frac{23\pi}{6}\)

   • Le point \(E'\) est l'image des réels \(-\frac{3\pi}{4}\), \(\frac{5\pi}{4}\) et \(\frac{13\pi}{4}\)

Exemple 2

1. Pour convertir en degrés une mesure d'angle en radians, il suffit de la multiplier par \(\frac{180}{\pi}\).

   • Une mesure de \(\frac{\pi}{5}\) radians correspond à une mesure de \(\frac{180}{5}=36\) degrés.

   • Une mesure de \(\frac{7\pi}{12}\) radians correspond à une mesure de \(105\) degrés.

   • Une mesure de \(1\) radians correspond à une mesure de \(\frac{180}{\pi}\) degrés.

   • Une mesure de \(\frac{4\pi}{3}\) radians correspond à une mesure de \(240\) degrés.

2. Pour convertir en radians une mesure d'angle en degrés, il suffit de la multiplier par \(\frac{\pi}{180}\).

   • Une mesure de \(50\) degrés correspond à une mesure de \(\frac{5\pi}{18}\) radians

   • Une mesure de \(1\) degrés correspond à une mesure de \(\frac{\pi}{180}\) radians

   • Une mesure de \(10\) degrés correspond à une mesure de \(\frac{\pi}{18}\) radians

   • Une mesure de \(120\) degrés correspond à une mesure de \(\frac{12\pi}{18}=\frac{2\pi}{3}\) radians

Exemple 3 : mesure principale d'un angle orienté

1. On applique les méthodes 1 puis 2 pour déterminer la mesure principale de l'angle \(\left ( \overrightarrow{u}, \overrightarrow{v} \right)\) :

   • Soit \(\left ( \overrightarrow{u}, \overrightarrow{v} \right) = \alpha = -\frac{49\pi}{6}\)

     • D'après la méthode 1, \(\frac{-\frac{49\pi}{6}}{2\pi} \approx -4,08\) donc \(q=-5\) et \(\alpha - (-5) \times 2\pi = \frac{11\pi}{6}\) On a \(\frac{11\pi}{6}>\pi\) donc la mesure principale de \(\alpha\) est \(\frac{11\pi}{6}-2\pi=-\frac{\pi}{6}\).

     • D'après la méthode 2, \(\frac{-\frac{49\pi}{6}}{2\pi} \approx -4,08\), on arrondit à \(n=-4\) et \(\alpha - (-4) \times 2\pi = \frac{\pi}{6}\) Donc la mesure principale de \(\alpha\) est \(-\frac{\pi}{6}\).

   • Soit \(\left ( \overrightarrow{u}, \overrightarrow{v} \right) = \alpha = -\frac{43\pi}{3}\)

     • D'après la méthode 1, \(\frac{-\frac{43\pi}{3}}{2\pi} \approx -7,17\) donc \(q=-8\) et \(\alpha - (-8) \times 2\pi = \frac{5\pi}{3}\) On a \(\frac{5\pi}{3}>\pi\) donc la mesure principale de \(\alpha\) est \(\frac{5\pi}{3}-2\pi=-\frac{\pi}{3}\).

     • D'après la méthode 2, \(\frac{-\frac{43\pi}{3}}{2\pi} \approx -7,17\), on arrondit à \(n=-7\) et \(\alpha - (-7) \times 2\pi = \frac{\pi}{3}\) Donc la mesure principale de \(\alpha\) est \(-\frac{\pi}{3}\).

   • Soit \(\left ( \overrightarrow{u}, \overrightarrow{v} \right) = \alpha = \frac{85\pi}{4}\)

     • D'après la méthode 1, \(\frac{\frac{85\pi}{4}}{2\pi} \approx 10,625\) donc \(q=10\) et \(\alpha - 10 \times 2\pi = \frac{5\pi}{4}\) On a \(\frac{5\pi}{4}>\pi\) donc la mesure principale de \(\alpha\) est \(\frac{5\pi}{4}-2\pi=-\frac{3\pi}{4}\).

     • D'après la méthode 2, \(\frac{\frac{85\pi}{4}}{2\pi} \approx 10,625\), on arrondit à \(n=11\) et \(\alpha - 11 \times 2\pi = -\frac{3\pi}{4}\) Donc la mesure principale de \(\alpha\) est \(-\frac{3\pi}{4}\).

   • Soit \(\left ( \overrightarrow{u}, \overrightarrow{v} \right) = \alpha = \frac{19\pi}{4}\)

     • D'après la méthode 1, \(\frac{\frac{19\pi}{4}}{2\pi} \approx 2,4\) donc \(q=2\) et \(\alpha - 2\times 2\pi = \frac{3\pi}{4}\) On a \(0 \leqslant \frac{3\pi}{4}<\pi\) donc la mesure principale de \(\alpha\) est \(\frac{3\pi}{4}\).

     • D'après la méthode 2, \(\frac{\frac{19\pi}{4}}{2\pi} \approx 2,4\), on arrondit à \(n=2\) et \(\alpha - 2 \times 2\pi = \frac{3\pi}{4}\) Donc la mesure principale de \(\alpha\) est \(\frac{3\pi}{4}\).

Exemple 3, algorithme de la question 2

Exemple 3, algorithme de la question 3

Exemple 4

1. Soit \(\overrightarrow{u}\) et \(\overrightarrow{v}\) deux vecteurs non nuls.

   • Preuve du corollaire 1)

   D'après la relation de Chasles :

   \[\left( \overrightarrow{u}, \overrightarrow{v} \right) + \left( \overrightarrow{v}, \overrightarrow{u} \right)= \left( \overrightarrow{u}, \overrightarrow{u} \right) = 0 + k 2 \pi\]

   On en déduit que :

   \[\left( \overrightarrow{u}, \overrightarrow{v} \right) = - \left( \overrightarrow{v}, \overrightarrow{u} \right) + k 2 \pi\]

   • Preuve du corollaire 2)

   D'après la relation de Chasles :

   \[\left( -\overrightarrow{u}, \overrightarrow{v} \right) + \left( \overrightarrow{v}, \overrightarrow{u} \right)= \left( -\overrightarrow{u}, \overrightarrow{u} \right) = \pi + k 2 \pi\]

   On en déduit que :

   \[\left( -\overrightarrow{u}, \overrightarrow{v} \right) =- \left( \overrightarrow{v}, \overrightarrow{u} \right)+ \pi + k 2 \pi\]

   D'après le corollaire 1 on a donc :

   \[\left( -\overrightarrow{u}, \overrightarrow{v} \right) =\left( \overrightarrow{u}, \overrightarrow{v} \right)+ \pi + k 2 \pi\]

2. Soit \(ABC\) un triangle.

\[\left( \overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC} \right)+ \left( \overrightarrow{BC}, \overrightarrow{BA} \right) + \left( \overrightarrow{AC}, \overrightarrow{BC} \right) = \left( \overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC} \right) + \left( \overrightarrow{AC}, \overrightarrow{BC} \right) + \left( \overrightarrow{BC}, \overrightarrow{BA} \right)\]

\[\left( \overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC} \right)+ \left( \overrightarrow{BC}, \overrightarrow{BA} \right) + \left( \overrightarrow{AC}, \overrightarrow{BC} \right) = \left( \overrightarrow{AB}, \overrightarrow{BA} \right) = \pi\]

On retrouve ainsi que la somme des angles d'un triangle mesure \(\pi\) radians ou \(180\) degrés.

3. Soit quatre points \(A, B, C, D\) tels que \(\left( \overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC} \right)=-\frac{81\pi}{4}\) et \(\left( \overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AD} \right)=\frac{239\pi}{3}\) et \(\left( \overrightarrow{DA}, \overrightarrow{DC} \right)=\frac{7\pi}{12}\).

   1. \(\frac{-\frac{81\pi}{4}}{2\pi} \approx -10,1 \) donc \(n=-10\) et la mesure principale de \(\left( \overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC} \right)\) est \(-\frac{81\pi}{4}- (-10) \times 2 \pi = -\frac{\pi}{4}\).

   2. \(\frac{\frac{239\pi}{3}}{2\pi} \approx 39,8 \) donc \(n=40\) et la mesure principale de \(\left( \overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AD} \right)\) est \(\frac{239\pi}{3}- (40) \times 2 \pi = -\frac{\pi}{3}\).

   3. On a \(\left( \overrightarrow{AD}, \overrightarrow{CD} \right) = \left( \overrightarrow{DA}, \overrightarrow{DC} \right)=\frac{7\pi}{12}\).

   \(\left( \overrightarrow{AC}, \overrightarrow{AB} \right) =-\left( \overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC} \right)=\frac{\pi}{4}\)

   \(\left( \overrightarrow{CA}, \overrightarrow{AB} \right) = \pi + \left( \overrightarrow{AC}, \overrightarrow{AB} \right) = \frac{5\pi}{4}\)

   4. Démontrons que le triangle \(ACD\) est rectangle en \(C\).

   \(\left( \overrightarrow{CA}, \overrightarrow{CD} \right) =\left( \overrightarrow{CA}, \overrightarrow{AB} \right) + \left( \overrightarrow{AB}, \overrightarrow{CD} \right)\)

   donc \(\left( \overrightarrow{CA}, \overrightarrow{CD} \right) = \frac{5\pi}{4} + \left( \overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AD} \right) + \left( \overrightarrow{AD}, \overrightarrow{CD} \right)\)

   \(\left( \overrightarrow{CA}, \overrightarrow{CD} \right) = \frac{5\pi}{4} - \frac{\pi}{3} + \frac{7\pi}{12}=\frac{18\pi}{12}=\frac{3\pi}{2}\)

   On en déduit que les vecteurs \(\overrightarrow{CA}\) et \(\overrightarrow{CD}\) sont orthogonaux et donc que le triangle \(ACD\) est rectangle en \(C\).

Exemple 5

Cosinus et sinus des angles remarquables

Symétrie des sinus et cosinus

Soit \(x\) et \(y\) des réels.

Simplifions les expressions au maximum

1. \(A=\cos^2(x) \cos^2(y) + \sin^2(x) \sin^2(y) + \cos^2(x) \sin^2(y) + \sin^2(x) \cos^2(y)\)

   On factorise partiellement : \(A=\cos^2(x)( \cos^2(y) + \sin^2(y)) + \sin^2(x)( \sin^2(y) + \cos^2(y))\)

   On simplifie : \(A = \cos^2(x)\times 1 + \sin^2(x) \times 1 = \cos^2(x) + \sin^2(x) = 1\).

2. \(B= \sin\left(-x+12\pi\right) + \cos \left(-x+\pi\right) + \cos(x) + \sin \left(x+13\pi\right)+\sin \left(3\pi-x\right)\)

   On utilise d'abord la propriété de périodicité des fonctions cosinus et sinus en ne gardant dans les termes en \(k'\pi\) que les restes de division entière par \(2 \pi\).

   \[B= \sin\left(-x\right) + \cos \left(-x+\pi\right) + \cos(x) + \sin \left(x+ \pi\right)+\sin \left(\pi-x\right)\]

   Ensuite on utilise les propriétés des angles supplémentaires des fonctions cosinus et sinus pour éliminer les termes \(\pi\) et \(-\pi\)

   \[B= \sin\left(-x\right) - \cos \left(-x\right) + \cos(x) - \sin \left(x\right)-\sin \left(-x\right)\]

   Enfin on utilise les propriétés de parité des fonctions cosinus et sinus

   \[B= -\sin\left(x\right) - \cos \left(x\right) + \cos(x) - \sin \left(x\right)+\sin \left(x\right)\]

   Finalement on a \(B=-\sin\left(x\right)\).

3. \(C= \sin(x) + \cos \left(x+\frac{\pi}{2}\right) + \cos(x) + \sin \left(x+\frac{\pi}{2}\right)\)

   On applique les propriétés des angles complémentaires des fonctions cosinus et sinus.

   \[C= \sin(x) - \sin \left(x\right) + \cos(x) + \cos \left(x\right)\]

   Finalement on a \(C=2\cos\left(x\right)\).

Exemple 6 Équations trigonométriques

On résout toutes les équations de cet exercice dans l'intervalle \(]-\pi;\pi]\).

1. \[\cos x = - 0,5 \Leftrightarrow \cos x = \cos \left(\frac{2\pi}{3}\right) \Leftrightarrow \begin{cases} x = \frac{2\pi}{3} \\ \text{ou } x = -\frac{2\pi}{3} \end{cases} \]

2. \[\sin x = 0,5 \Leftrightarrow \sin x = \sin \left(\frac{\pi}{6}\right) \Leftrightarrow \begin{cases} x = \frac{\pi}{6} \\ \text{ou } x = \pi-\frac{\pi}{6}=\frac{5\pi}{6} \end{cases} \]

3. \[\sin^2 x = 0,5 \Leftrightarrow \begin{cases} \sin x = \frac{\sqrt{2}}{2} \\ \text{ou } \sin x = -\frac{\sqrt{2}}{2} \end{cases}\]

\[\sin^2 x = 0,5 \Leftrightarrow \begin{cases} \sin x = \sin \left( \frac{\pi}{4} \right) \\ \text{ou } \sin x = \sin \left( -\frac{\pi}{4} \right) \end{cases}\]

\[\sin^2 x = 0,5 \Leftrightarrow \begin{cases} x = \frac{\pi}{4} \\ \text{ou } x = \pi - \frac{\pi}{4} \\ \text{ou } x = - \frac{\pi}{4} \\ \text{ou } x = \pi+ \frac{\pi}{4} \end{cases}\]

\[\sin^2 x = 0,5 \Leftrightarrow \begin{cases} x = \frac{\pi}{4} \\ \text{ou } x = \frac{3\pi}{4} \\ \text{ou } x = - \frac{\pi}{4} \\ \text{ou } x = -\frac{3\pi}{4} \end{cases}\]

4. \[2\cos^{2} x - \sqrt{3}\cos x = 0 \Leftrightarrow \cos (x) \times \left(2\cos (x) - \sqrt{3}\right)=0 \]

\[2\cos^{2} x - \sqrt{3}\cos x = 0 \Leftrightarrow \begin{cases} \cos (x) = 0 \\ \text{ou } \cos (x) = \frac{\sqrt{3}}{2} \end{cases} \]

\[2\cos^{2} x - \sqrt{3}\cos x = 0 \Leftrightarrow \begin{cases} x = \frac{\pi}{2} \\ \text{ou } x =-\frac{\pi}{2} \\ \text{ou } x = \frac{\pi}{6} \\ \text{ou } x = -\frac{\pi}{6} \end{cases}\]

Exemple 7 Inéquations trigonométriques

• Dans l'intervalle \(]-\pi;\pi]\), à l'aide du cercle trigonométrique, on peut déterminer que l'ensemble des solutions de l'inéquation \(2 \cos x +1 >0 \Leftrightarrow \cos x > -\frac{1}{2}\) est l'intervalle \(]-\frac{2\pi}{3};\frac{2\pi}{3}[\).

• Dans l'intervalle \([0;2\pi[\), à l'aide du cercle trigonométrique, on peut déterminer que l'ensemble des solutions de l'inéquation \(2 \cos x +1 >0 \Leftrightarrow \cos x > -\frac{1}{2}\) est la réunion d'intervalles \([0;\frac{2\pi}{3}[ \cup ]-\frac{2\pi}{3};2\pi[\).

• Dans l'intervalle \([-\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2}[\), à l'aide du cercle trigonométrique, on peut déterminer que l'ensemble des solutions de l'inéquation \(2 \cos x +1 >0 \Leftrightarrow \cos x > -\frac{1}{2}\) est tout l'intervalle \([-\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2}[\),.