In [8]:
from sympy import *
init_session()

IPython console for SymPy 1.0 (Python 3.4.3-32-bit) (ground types: python)

These commands were executed:
>>> from __future__ import division
>>> from sympy import *
>>> x, y, z, t = symbols('x y z t')
>>> k, m, n = symbols('k m n', integer=True)
>>> f, g, h = symbols('f g h', cls=Function)
>>> init_printing()

Documentation can be found at http://docs.sympy.org/1.0/

Bibliothèque pour le produit scalaire

In [9]:
def scal_analytique(u , v):
    """Retourne le produit scalaire de deux vecteurs u(x,y) et v(x',y')
    sous la forme xx' + yy'"""
    return sum(c*d  for (c,d) in zip(u,v))

def norme(u):
    return sqrt(scal_analytique(u,u))

def scal_norme(nu, nv, nw):
    """Retourne le produit scalaire de u et v à partir de 
    la formule 1/2*((u+v)**2 - u**2 - v**2).
    la norme de u+v est passée dans le parametre nw"""
    return Rational(1,2)*(nw**2 - nu**2 - nv**2)

def scal_cos(nu, nv, angle):
    """Retourne le produit scalaire de u et de v avec le theoreme du cosinus.
    la mesure de l'angle doit etre en radian."""
    return nu*nv*cos(angle)

def thme_mediane(MA, MB, AB):
    """Theoreme de la mediane : MA22* + MB**2 = 2*MI**2 + AB**2/2"""
    return sqrt(MA**2 + MB**2 - (AB**2/2)/2)

def distance_alkashi(b, c, angle):
    """D'après Al-Kashi a**2 = b**2 + c**2 - 2*b*c*cos(A)"""
    return sqrt(b**2 + c**2 - 2*b*c*cos(angle))

def angle_alkashi(b, c, a):
    """D'après Al-Kashi cos(A) = (b**2 + c**2 - a**2)/(2*b*c)"""
    return acos( (b**2 + c**2 - a**2)/(2*b*c) )
    
def equation_droite_vecnormal(point, vec_normal):
    """Equation d'une droite à partir d'un point et d'un vecteur normal"""
    (xp, yp) = point
    (a, b) = vec_normal
    return Eq(a*x + b*y - a*xp - b*yp, 0 )
    
def equation_droite_vecdirecteur(point, vec_directeur):
    """Equation d'une droite à partir d'un point et d'un vecteur normal"""
    (a, b) = vec_directeur
    return equation_droite_vecnormal(point, (-b, a))

Exemples du cours

Exemple 6

Dans un repère orthonormal du plan, on considère les points $A(4;11)$, $B(3;2)$ et $C(-5;9)$.

Calculer le produit scalaire $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC}$ et en déduire une mesure approchée au degré près de l'angle $\widehat{BAC}$.

In [10]:
vect_AB = (-1, -9)
vect_AC = (-9, -2)
prodscal = scal_analytique(vect_AB, vect_AC)
prodscal
Out[10]:
$$27$$
In [11]:
norme(vect_AB)
Out[11]:
$$\sqrt{82}$$
In [12]:
norme(vect_AC)
Out[12]:
$$\sqrt{85}$$
In [13]:
angle_BAC = acos(prodscal/(norme(vect_AB)*norme(vect_AC)))

Mesure en degrés de l'angle $\widehat{BAC}$.

In [14]:
(angle_BAC*180/pi).evalf()
Out[14]:
$$71.1310005449386$$

Exemple 7

  1. Soit $EFG$ un triangle et $O$ le milieu de $[FG]$. $EF = 8$ $EG= 4$ et $FG = 6$. Calculer la longueur de la médiane $[EO]$.
  2. $A$ et $B$ sont deux points du plan tels que $AB = 4$. Déterminer la nature de l'ensemble des points $M$ tels que $MA^2 + MB^2 = 10$.
In [15]:
thme_mediane(8, 4, 6)
Out[15]:
$$8.42614977317636$$
In [16]:
thme_mediane(1, 3, 4)
Out[16]:
$$2.44948974278318$$

Dans le 2. il s'agit d'un cercle de centre I le milieu de [AB] et de rayon 1.

Exemple 8

BC = 5 et BD = 4 et $\widehat{CBD} = 60^{\circ}$ et $\widehat{ACB} = 45^{\circ}$ et $\widehat{DBA} = 90^{\circ}$ et $\widehat{CAB} = 105^{\circ}$

  • Calculer la longueur $CD$ puis déterminer une mesure des angles $\widehat{BCD}$ et $\widehat{BDC}$.

  • Préciser la mesure des angles $\widehat{BEC}$ et $\widehat{CBE}$ puis calculer les longueurs $BE$ et $CE$.

In [17]:
CD = distance_alkashi(5,4,60*pi/180)
In [18]:
CD
Out[18]:
$$\sqrt{21}$$
In [19]:
angleBCD = angle_alkashi(sqrt(21), 5, 4)
In [20]:
(angleBCD*180/pi).evalf()
Out[20]:
$$49.1066053508691$$
In [21]:
CA = (sin(30/180*pi)/(sin(105/180*pi)/5)).evalf()
In [22]:
CA
Out[22]:
$$2.58819045102521$$
In [23]:
BA = (sin(45/180*pi)/(sin(105/180*pi)/5)).evalf()
In [24]:
BA
Out[24]:
$$3.66025403784439$$

Exemple 10

Soit $A(-2,3)$, $B(5,1)$ et $C(-5,7)$.

  1. Déterminer une équation de la droite $D_1$ passant par $C(-5,7)$ et dont un vecteur normal est $\overrightarrow{n}(2,-1)$.

    a. Déterminer une équation de la droite $D_2$ passant par $A$ et parallèle à la droite d'équation $3y -5x + 1 = 0$.

    b. Déterminer une équation de $D_3$, la hauteur du triangle $ABC$ issue de $B$ puis une équation de la hauteur $D_4$ issue de $A$. En déduire les coordonnées de l'orthocentre de $ABC$.

    c. Déterminer une équation de la médiatrice $D_5$ du segment $[AB]$.

  2. Soit $a$ et $b$ deux réels non nuls et $\Delta$ la droite coupant l'axe des abscisses au point d'abscisse $a$ et l'axe des ordonnées au point d'ordonnée $b$.

    a. Déterminer une équation de la droite $\Delta_2$ parallèle à $\Delta$ et passant par l'origine du repère.

    b. Déterminer une équation de la droite $\Delta_1$ perpendiculaire à $\Delta$ et passant par l'origine du repère.

Question 1. a

In [25]:
equation_droite_vecnormal((-5,7), (2,-1))
Out[25]:
$$2 x - y + 17 = 0$$

Question 1. b.

In [26]:
equation_droite_vecdirecteur((-2,3), (-3,-5))
Out[26]:
$$5 x - 3 y + 19 = 0$$

Question 1. c. Hauteur issue de B

In [27]:
vectAC = (-3,4)
B = (5,1)
equation_droite_vecnormal(B, vectAB )
Out[27]:
$$- 3 x + 4 y + 11 = 0$$
In [28]:
vectBC = (-10,6)
A = (-2, 3)
equation_droite_vecnormal(A, vectBC )
Out[28]:
$$- 10 x + 6 y - 38 = 0$$
In [29]:
linsolve([ 7*x-2*y+49, -10*x + 6*y - 38], (x, y))
Out[29]:
$$\left\{\left ( - \frac{109}{11}, \quad - \frac{112}{11}\right )\right\}$$

I milieu de [AB]

In [30]:
I = (Rational(3,2), 2)
equation_droite_vecnormal(I, vectAB)
Out[30]:
$$- 3 x + 4 y - \frac{7}{2} = 0$$

Question 2

In [31]:
a, b = symbols('a b')

Question 2. a.

In [32]:
equation_droite_vecdirecteur((0,0), (-a, b))
Out[32]:
$$- a y - b x = 0$$
In [33]:
equation_droite_vecnormal((0,0), (-a, b))
Out[33]:
$$- a x + b y = 0$$

Fiche d'exercices 2015-2016

Exercice 7 : calculs d'angles et de longueurs

  1. Soit $ABC$ un triangle tel que $AB=4$, $AC=5$,$BC=6$. Calculer une valeur approchée de la mesure de $\widehat{ABC}$.
  2. Soit $ABC$ un triangle tel que $BC=4$, $\widehat{ABC}=50$° et $AB=3$. Calculer la longueur $AC$.
  3. Soit $ABC$ un triangle tel que $BC=8$, $AC=7$ et $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC}=40$. Calculer la longueur $AB$.
  4. Soit $ABC$ un triangle tel que $\widehat{BAC}=30$°, $AC=2$ et $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC}=5$. Calculer la longueur $BC$.
  5. Dans un triangle $MNP$, on note $I$ le milieu de $[NP]$ et on donne $MN=\sqrt{12}, \quad NP=6, \quad \widehat{MNP}=\tfrac{5\pi}{6}~radians$. Calculer la longueur exacte de la médiane $[MI]$.

Question 1

In [34]:
AB = 4
AC = 5
BC = 6
In [35]:
angle_ABC = angle_alkashi(4, 6, 5)
(angle_ABC*180/pi).evalf()
Out[35]:
$$55.7711336721874$$

Question 2

In [36]:
AC = distance_alkashi(4,3, 50*pi/180)
In [37]:
AC.evalf()
Out[37]:
$$3.09404223751439$$

Question 3

On utilise la relation $\overrightarrow{BC}^{2}=(\overrightarrow{BA} + \overrightarrow{AC} )^{2}=BA^2 + AC^2 + 2 \overrightarrow{BA} \cdot \overrightarrow{AC} = BA^2+49 - 80 = BA^2-31$.

On a donc $BA^2=BC^2+31=64+31=95$ et $BA=\sqrt{95}$.

Question 4

In [38]:
AB = 5/(cos(30*pi/180)*2)
In [39]:
AB
Out[39]:
$$\frac{5 \sqrt{3}}{3}$$
In [40]:
BC = distance_alkashi(2, AB, 30*pi/180)
BC
Out[40]:
$$\frac{\sqrt{21}}{3}$$

Question 5

In [41]:
MN = sqrt(12)
NP = 6
angle_MNP = 5*pi/6
MN, NP, angle_MNP
Out[41]:
$$\left ( 2 \sqrt{3}, \quad 6, \quad \frac{5 \pi}{6}\right )$$
In [42]:
MP = distance_alkashi(MN, NP, angle_MNP)
In [43]:
MP
Out[43]:
$$2 \sqrt{21}$$
In [44]:
MI = thme_mediane(MN, NP, MP)
In [45]:
MI
Out[45]:
$$3 \sqrt{3}$$

Exercice 8

  1. Dans un repère orthonormal du plan, soient $A(-3,2)$, $B(-1,5)$,$C(1,2)$. Montrer que le triangle $ABC$ est isocèle et calculer une mesure de son angle au sommet à 0,1 degré près.
  2. Soit un triangle $ABC$ isocèle en $A$ tel que $AB=3$ et $\widehat{BAC}=40$°. Calculer une valeur approchée à l'unité près de la longueur de la médiane issue de $A$.

Question 1

In [46]:
AB = norme((2,3))
In [47]:
AB
Out[47]:
$$\sqrt{13}$$
In [48]:
AC = norme((4, 0))
In [49]:
AC
Out[49]:
$$4$$
In [50]:
BC = norme((2,-3))
In [51]:
BC
Out[51]:
$$\sqrt{13}$$
In [52]:
angle_ABC = angle_alkashi(AB, BC, AC)
In [53]:
angle_ABC
Out[53]:
$$\operatorname{acos}{\left (\frac{5}{13} \right )}$$
In [54]:
(angle_ABC*180/pi).evalf()
Out[54]:
$$67.3801350519596$$

Question 2

In [55]:
AB = AC = 3
angle_BAC = 40*pi/180
BC = distance_alkashi(AB, AC, angle_BAC)
In [56]:
BC
Out[56]:
$$\sqrt{- 18 \cos{\left (\frac{2 \pi}{9} \right )} + 18}$$
In [57]:
BC.evalf()
Out[57]:
$$2.05212085995401$$
In [58]:
AI = thme_mediane(AB, AC, BC)
In [59]:
AI
Out[59]:
$$\sqrt{\frac{9}{2} \cos{\left (\frac{2 \pi}{9} \right )} + \frac{27}{2}}$$
In [60]:
AI.evalf()
Out[60]:
$$4.11669770496151$$

Exercice 9

Dans chaque cas, donner un vecteur normal de la droite $\mathcal{D}$ et déterminer une équation de la perpendiculaire à $\mathcal{D}$ passant par $C(1,-5)$

  1. $\mathcal{D} \, : \, x+3y-2=0$;
  2. $\mathcal{D} \, : \, x+3=0$;
  3. $\mathcal{D} \, : \, x=2y-1$;
  4. $\mathcal{D} \, : \, y=2x+1$;
  5. $\mathcal{D}$ passe par $A(1,2)$ et $B(-1,4)$ ;
  6. $\mathcal{D}$ passe par $A(2,5)$ et $B(-1,-3)$ .

Question 1

In [61]:
equation_droite_vecnormal((1,-5), (1,3))
Out[61]:
$$x + 3 y + 14 = 0$$

Question 2

In [63]:
equation_droite_vecnormal((1,-5), (1,0))
Out[63]:
$$x - 1 = 0$$

Question 3

In [64]:
equation_droite_vecnormal((1,-5), (1,-2))
Out[64]:
$$x - 2 y - 11 = 0$$

Question 4

In [65]:
equation_droite_vecnormal((1,-5), (2,-1))
Out[65]:
$$2 x - y - 7 = 0$$

Question 5

In [66]:
equation_droite_vecnormal((1,-5), (-2,2))
Out[66]:
$$- 2 x + 2 y + 12 = 0$$

Question 6

In [67]:
equation_droite_vecnormal((1,-5), (-3,-8))
Out[67]:
$$- 3 x - 8 y - 37 = 0$$

Exercice 10

Déterminer une équation de la droite $\Delta$ dont on notera $\overrightarrow{n}$ un vecteur normal.

  1. $\overrightarrow{n}(1,3)$ et $\Delta$ passe par $A(-5,1)$ ;
  2. $\overrightarrow{n}(5,-4)$ et $\Delta$ passe par $A(8,-2)$ ;
  3. $\overrightarrow{n}(-2,2)$ et $\Delta$ passe par $A(2,5)$ ;
  4. $\Delta$ médiatrice de $[AB]$ avec $A(1,2)$ et $B(-1,4)$.

Question 1

In [68]:
equation_droite_vecnormal((-5,1), (1,3))
Out[68]:
$$x + 3 y + 2 = 0$$

Question 2

In [69]:
equation_droite_vecnormal((8,-2), (5,-4))
Out[69]:
$$5 x - 4 y - 48 = 0$$

Question 3

In [70]:
equation_droite_vecnormal((2,5), (-2,2))
Out[70]:
$$- 2 x + 2 y - 6 = 0$$

Question 4

In [71]:
equation_droite_vecnormal((0,3), (-2,2))
Out[71]:
$$- 2 x + 2 y - 6 = 0$$