Taux d'accroissement de \(f\) entre \(1\) et \(1+h\)

Soit la fonction \(f:x \mapsto x^2\) définie sur \(\mathbb{R}\) et soit \(h\) un réel non nul.

On considère les points \(A(1,1)\) et \(M(1+h,(1+h)^2)\) de la courbe de \(f\) dans un repère du plan.

On note \(\tau(h)=\frac{f(1+h)-f(1)}{h}\) le taux d'accroissement de \(f\) entre \(1\) et \(1+h\).

• On a \(\tau(h)=f(1+h)-f(1)=(1+h)^2-1 = 2h+h^2\)

• et donc \(\tau(h)=\frac{f(1+h)-f(1)}{h}=\frac{2h+h^2}{h} = \frac{h(2+h)}{h} = 2+h\)

\(h=2\)

Pour \(h=2\), on considère le point \(A(1,1)\) et le point \(M_{2}(1+2,(1+2)^2)\).

• Le taux d'accroissement de \(f\) entre \(1\) et \(1+2\) est \(\tau(2)=\frac{f(1+2)-f(1)}{2}=\frac{9-1}{2}=4\).

• C'est le coefficient directeur de la sécante la sécante \((AM_{2})\)

\(h=1,5\)

• Le taux d'accroissement de \(f\) entre \(1\) et \(1+1,5\) est \(\tau(1,5)=\frac{f(1+1,5)-f(1,5)}{1,5} =3,5\).

\(h=1\)

• Le taux d'accroissement de \(f\) entre \(1\) et \(1+1\) est \(\tau(1)=\frac{f(1+1)-f(1)}{1} = 3\).

\(h=0,5\)

• Le taux d'accroissement de \(f\) entre \(1\) et \(1+0,5\) est \(\tau(0,5)=\frac{f(1+0,5)-f(1)}{0,5} = 2,5\).

\(h=0,1\)

• Le taux d'accroissement de \(f\) entre \(1\) et \(1+0,1\) est \(\tau(0,1)=\frac{f(1+0,1)-f(1)}{0,1} = 2,1\).

\(h=-0,1\)

• Le taux d'accroissement de \(f\) entre \(1\) et \(1-0,1\) est \(\tau(-0,1)=\frac{f(1-0,1)-f(1)}{-0,1} = 1,9\).

• Lorsque \(h\) tend vers \(0\) (par valeurs inférieures ou supérieures), le taux d'accroissement de \(f\) entre \(1\) et \(1+h\), tend vers \(2\).

• En effet on a montré que pour tout \(h \neq 0\) on a \(\tau(h)=\frac{f(1+h)-f(1)}{h}=\frac{2h+h^2}{h} = \frac{h(2+h)}{h} = 2+h\)

• Et lorsque \(h\) tend vers \(0\) on a \(2+h\) qui tend vers \(2\)

• On dit que la limite de \(\tau(h)=\frac{f(1+h)-f(1)}{h}\) lorsque \(h\) tend vers \(0\) est \(2\).

• On note : \[\lim_{h \to 0}\frac{f(1+h)-f(1)}{h} = 2\]

• On dit que \(f\) est dérivable en \(1\), de nombre dérivé \(f'(1)=2\)

• Attention à ne pas confondre \(f(1)=1\) et \(f'(1)=2\)

• La droite passant par le point \(A(1,f(1))\) et de coefficient directeur \(f'(1)\) est la tangente à la courbe de \(f\) au point d'abscisse \(1\)

• C'est la droite limite des sécantes à la courbe de \(f\) en \(A\) (droites passant par \(A\) et un autre point de la courbe distinct de \(A\)).

• Une équation de la tangente à la courbe de \(f\) au point d'abscisse 1 est : \[y=f'(1)(x-1)+f(1)\]